课时提能演练(四十九)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
(A)(x＋1)2＋y2＝2 (B)(x－1)2＋y2＝2
(C)(x＋1)2＋y2＝4 (D)(x－1)2＋y2＝4
2.(2012·宝鸡模拟)过原点O作圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝4的两条割线，分别与圆交于A、B和M、N两点，则等于( )
(A)4 (B)8 (C)9 (D)18
3.圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0与圆C2：x2＋y2－6x＝0的交点为A、B，则AB的垂直平分线方程为( )
(A)x＋y＋3＝0 (B)2x－5y－5＝0
(C)3x－y－9＝0 (D)4x－3y＋7＝0
4.(2012·西安模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )
(A)[－，0] (B)[－，]
(C)[－，0] (D)(－∞，－]∪[0，＋∞)
5.(2012·石家庄模拟)已知a、b、c成等差数列，则直线ax－by＋c＝0被曲线x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)2
6.(2012·铜川模拟)如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )
(A)(－2，0)∪(0,2)
(B)(－2，2)
(C)(－1,0)∪(0,1)
(D)(－1,1)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·合肥模拟)圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上存在两相异点关于过点(0,1)的直线l对称，则直线l的方程为 .
8.(预测题)与直线l：x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
9.已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－25＝0相交于A、B两点，且点C(m,0)在直线AB上，则m的值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
11.(2012·南昌模拟)已知点P(a，－1)(a∈R)，过点P作抛物线C：y＝x2的切线，切点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)(其中x1＜x2).
(1)求x1与x2的值(用a表示)；
(2)若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值.
【探究创新】
(16分)已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.直线x－y＋1＝0，令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
2.【解析】选D.过原点O作圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝4
的切线OP(P为切点)，得||＝3.
由切割线定理可得
＝2×32＝18.
3.【解析】选C.∵圆C1：(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆心C1(2，－3)，C2(3,0)，
∵两圆的连心线垂直平分公共弦，
∴AB的垂直平分线的方程为＝，
即3x－y－9＝0.
4.【解析】选C.圆(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为(3,2)，半径为2，圆心到直线y＝kx＋3的距离为d＝＝.
由弦长公式得|MN|＝2≥2，
∴()2≤1，即2k(4k＋3)≤0.
解得－≤k≤0.
5.【解析】选D.由题意得a＋c＝2b，即c＝2b－a，
∴直线：ax－by＋2b－a＝0，即a(x－1)－b(y－2)＝0，
∴直线过定点(1,2)，
曲线(x－1)2＋(y－1)2＝2是以(1,1)为圆心，为半径的圆，
又∵定点(1,2)在圆内，圆心到定点的距离为d＝＝1，
∴弦长的最小值为2＝2.
6.【解析】选A.问题转化为“圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交时，求实数a的取值范围”，由R－r＜|OC|＜R＋r，得1＜＜3，
∴0＜|a|＜2.
∴a的取值范围是(－2，0)∪(0,2).
7.【解析】由题意得，直线l过圆心(－2，－1)，
∴kl＝＝1，∴直线l的方程为：y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
8.【解题指南】最小圆的圆心一定在过x2＋y2－12x－12y＋54＝0的圆心到直线x＋y－2＝0所作的垂线段上.
【解析】∵圆A：(x－6)2＋(y－6)2＝18，
∴A(6,6)，半径r1＝3，且OA⊥l，A到l的距离为5，显然所求圆B的直径2r2＝2，即r2＝，又OB＝OA－r1－r2＝2，由与x轴正半轴成45°角，
∴B(2,2)，∴方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2
9.【解析】因为圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－25＝0相交，所以其相交弦的方程为：x2＋y2－6x－7－(x2＋y2－6y－25)＝0，即x－y－3＝0，
又因为点C(m,0)在直线AB上，所以m－0－3＝0，解得m＝3.
答案：3
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1－(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0 ①
我们把直线方程①称为两圆C1、C2的根轴，
当两圆C1、C2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程；
当两圆C1、C2相切时，方程①表示过圆C1，C2切点的公切线方程.
10.【解析】(1)∵m2＋1≠0，
∴直线l的方程可化为y＝x－，
直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，
所以|k|＝≤，
当且仅当|m|＝1时等号成立.
所以，斜率k的取值范围是[－，].
(2)不能.由(1)知直线l的方程为y＝k(x－4)，
其中|k|≤.
圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝.
由|k|≤，得d≥>1，即d>.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧.
11.【解析】(1)由y＝x2可得，y′＝2x.
∵直线PA与抛物线C相切，且过点P(a，－1)，
∴2x1＝，即x－2ax1－1＝0，
∴x1＝＝a－
或x1＝a＋，
同理可得：x2＝a－或x2＝a＋，
∵x1＜x2，∴x1＝a－，x2＝a＋.
(2)由(1)可知，x1＋x2＝2a，x1·x2＝－1，
则直线AB的斜率k＝＝＝x1＋x2，
∴直线AB的方程为：y－y1＝(x1＋x2)(x－x1)，
又y1＝x，
∴y－x＝(x1＋x2)x－x－x1x2，即2ax－y＋1＝0.
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，
即r＝，
∴r2＝＝＝
＝
＝(a2＋)＋＋≥2＋＝3，
当且仅当a2＋＝，即a2＋＝，
a＝±时取等号，故圆E面积的最小值S＝πr2＝3π.
【变式备选】已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y＝x－被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方.
(1)求圆M的方程；
(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值.
【解析】(1)设圆心M(a,0)，由已知得M到l：8x－6y－3＝0的距离为＝，∴＝，
又∵M在l的下方，∴8a－3>0，∴8a－3＝5，a＝1.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)由题设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6.
由方程组，
得C点的横坐标为xc＝.
∵|AB|＝t＋6－t＝6，
∴S＝||·6＝，
由于圆M与AC相切，
所以1＝，∴k1＝；
同理，k2＝，
∴k1－k2＝，
∴S＝＝6(1－)，∵－5≤t≤－2.
∴－2≤t＋3≤1，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
∴Smax＝6×(1＋)＝，Smin＝6×(1＋)＝，
∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为.
【探究创新】
【解析】(1)∵l与m垂直，且km＝－，
∴kl＝3，故直线l的方程为y＝3(x＋1)，
即3x－y＋3＝0.
∵圆心坐标(0,3)满足直线l的方程，
∴当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
∵|PQ|＝2，∴|CM|＝＝1，
则由|CM|＝，得k＝，
∴直线l：4x－3y＋4＝0.
故直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)∵CM⊥MN，∴
＝
①当l与x轴垂直时，易得N(－1，－)，
则＝(0，－)，
又＝(1,3)，∴
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由，得N(，)，
则＝(，)，
∴＝＋＝－5.
综上所述，与直线l的倾斜角无关，且＝－5.
【点此下载】