巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·大连、沈阳联考)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：由判定定理可知l⊥a，l⊥b，推不出l⊥α，但l⊥α，一定能够得到l⊥a，l⊥b.故选C.
答案：C
2．(2013·许昌四校联考)下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析：借助正方体很容易判断出A、B、C是正确的，只有D是错误的．
答案：D
3．(2013·河北百校联考)三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为( )
A．90° B．30° C．45° D．60°
解析：取PB的中点为M，连接AM、CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.
答案：D
4．(2013·中山联考)设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
D．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
解析：借助正方体易知A、C、D都是错误的．对于B，∵m∥α，∴α内一定存在一条直线c∥m，由m⊥β知c⊥β，故α⊥β.
答案：B
5．(2013·菱湖中学月考)已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：过点D作DG⊥AE于点G，由三垂线定理知，D1G⊥AE，∠DGD1即为所求二面角的平面角，设正方体的棱长是1，易求得DG＝，∴D1G＝＝，
∴sin∠DGD1＝＝.
答案：C
6．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
解析：在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，连接CE.在翻折过程中，AE⊥BD，假设存在某个位置使AC⊥BD，则BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，由条件知BD与CE不垂直，故A错；对于C，若AD⊥BC，则AD⊥平面ABC，AD⊥AC，△ACD为直角三角形，∠ CAD＝90°，而CD＜AD，这种情况是不可能的，故C错；对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB，则有CD⊥AC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得AB⊥CD成立，故B正确，D错误．
答案：B
二、填空题
7．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在的直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的编号)
答案：①③
8．如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4，当在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取__________(填上一个你认为正确的数据序号即可)．
答案：①(或②)
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF⊥平面B1DF.
答案：a或2a
三、解答题
10．(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值．
解析：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED.
所以BD⊥平面AED.
(2)方法一：
由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设CB＝1.
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)，
因此＝，＝(0，－1,1)．
设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z，
取z＝1，则m＝(，1,1)．
由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量．
则cos〈m，〉＝＝＝，
所以，二面角F－BD－C的余弦值为.
方法二：取BD的中点G，连接CG，FG，
由于CB＝CD，因此，CG⊥BD.
又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以FC⊥BD.
由于FC∩CG＝C，FC，CG?平面FCG，
所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，
所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．
在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，
因此CG＝CB，
又CB＝CF，所以GF＝＝CG，
故cos∠FGC＝，
因此，二面角F－BD－C的余弦值为.
11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
解析：方法一：
(1)因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，又因为PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴BD⊥PC，而PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC.
(2)由(1)知BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，又四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD是正方形．
设AC交BD于O点，连接OE，因为PC⊥平面BDE，
所以PC⊥OE，∠BEO是二面角B－PC－A的平面角．
∵PA＝1，AD＝2，∴AC＝2，OB＝OC＝，
∴PC＝＝3，
又＝＝，∴OE＝.
在Rt△BEO中，tan∠BEO＝＝＝3.
所以二面角B－PC－A的正切值为3.
方法二：
(1)同解法一．
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
由(1)知BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.
∴四边形ABCD是正方形．
∴P(0,0,1)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
∴＝(0,2,0)，＝(－2,0,1)．
设平面BPC的一个法向量为m＝(x，y，z)．
则即∴
令x＝1，则m＝(1,0,2)．
易知平面PAC的一个法向量为＝(－2,2,0)，
∵cos〈m，〉＝＝－，
∴sin〈m，〉＝，
∴tan〈m，〉＝－3，
∴由图易知二面角B－PC－A是锐二面角，故其正切值为3.
12．(2012·北京)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图②.
图①
图②
(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．
解析：(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
所以DE⊥A1C，又因为A1C⊥CD，
所以A1C⊥平面BCDE.
(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，
设A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．
设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，
又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，
所以令y＝1，则x＝2，z＝.
所以n＝(2,1，)．
设CM与平面A1BE所成的角为θ，
因为＝(0,1，)，
所以sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
所以CM与平面A1BE所成角的大小为.
(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：
假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．
设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则
m·＝0，m·＝0.
又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以
令x＝2，则y＝p，z＝.
所以m＝，
平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.
解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．
所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．
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