课时提能演练(五十四) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·岳阳模拟)方程(x+y-2) =0表示的曲线是( ) (A)一个圆和一条直线 (B)半个圆和一条直线 (C)一个圆和两条射线 (D)一个圆和一条线段 2.设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0，则动点P(x, )的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 3.(2012·衡阳模拟)若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足＝0，则P点的轨迹是( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 4.设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ，则动点Q的轨迹是( ) (A)圆 (B)两条平行直线 (C)抛物线 (D)双曲线 5.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ) (A) (B) (C) (D) 6.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·邵阳模拟)过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线l1与l2,且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方程为________________. 8.(2012·昆明模拟)设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________. 9.(易错题)坐标平面上有两个定点A、B和动点P，如果直线PA、PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：_______________. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2011·陕西高考)如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.  (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 11.在平面直角坐标系中，已知向量=(x,y-), =(kx,y+)(k∈R)，⊥，动点M(x,y)的轨迹为T. (1)求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状； (2)当时，已知点B(0,-)，是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上?若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由. 【探究创新】 (16分)已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分，求实数k的取值范围. 答案解析 1.【解析】选C.(x+y-2)· =0变形为： x2+y2-9=0 或 表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x+y-2=0在圆x2+y2-9=0外面的两条射线，如右图. 2.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2, ∴. 则P(x, ). 设P(x1,y1),即, 消去x得y12=4ax1(x1≥0,y1≥0), 故点P的轨迹为抛物线的一部分. 3.【解析】选A.以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，建立直角坐标系，并设M(-3，0)，N(3，0)，P(x,y)，则＝(-3-x,-y)·(3-x,-y)=(x2-9)+y2=0.即x2+y2=9.故选A. 4.【解析】选B.设P(1,t)，Q(x,y)，由题意知|OP|=|OQ|, ∴x2+y2=1+t2 ① 又，∴x+ty=0, ∴,y≠0. ② 把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0，即y=±1. 所以动点Q的轨迹是两条平行直线. 5.【解题指南】找到动点M满足的等量关系，用定义法求解. 【解析】选D.M为AQ垂直平分线上一点， 则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ| =5(5＞|AC|)， 即点M的轨迹是椭圆, ∴a=,c=1,则b2=a2-c2=, ∴点M的轨迹方程为. 6.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆O内切或外切，O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点P在定圆O内时(非圆心)，|OC|＋|PC|=r0为定值，轨迹为椭圆；当P与O重合时，圆心轨迹为圆． 【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误. 7.【解析】当直线AM斜率存在时，设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),于是 ∵l1⊥l2,∴ 整理化简，得2ax+2by-a2-b2=0(x≠). 当直线AM⊥x轴时，此时MN的中点(,)也满足上述方程. ∴所求点P的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0. 答案：2ax+2by-a2-b2=0 8.【解析】设P(x,y)，圆上的动点N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为 ()，线段MN的中点坐标为()，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有：可得， 又因为N(x0,y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点()和(). 答案：(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点()和()) 9.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，则有,即mx2-y2=a2m,  当m＜0且m≠-1时，轨迹为椭圆；当m＞0时，轨迹为双曲线；当m=-1时，轨迹为圆；当m=0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程. 答案：①②④⑤ 10.【解析】(1)设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，所以xP=x,且yP=y, ∵P在圆x2+y2=25上，∴x2+(y)2=25,整理得, 即点M的轨迹C的方程是. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y=(x-3), 设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程得：,化简得x2-3x-8=0, ∴x1+x2=3,x1x2=-8, |x1-x2|, 所以线段AB的长度是|AB|= ， 即所截线段的长度是. 11.【解析】(1)∵ ⊥, ∴·=(x,y-)·(kx,y+)=0, 得kx2+y2-2=0，即kx2+y2=2, 当k=0时，方程表示两条与x轴平行的直线； 当k=1时，方程表示以原点为圆心，以为半径的圆； 当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆； 当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线. (2)当时，动点M的轨迹T的方程为, 设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B′(x0,y0)， 则由轴对称的性质可得： 解得： x0=--m,y0=m, ∵点B′(x0,y0)在轨迹T上， ∴， 整理得3m2+2m-2=0, 解得或， ∴直线l的方程为或, 经检验和都符合题意， ∴满足条件的直线l存在，其方程为或． 【变式备选】已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m＞0)上运动，且|MN|=2，动点P满足：(O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型； (2)过点(0，1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围. 【解析】(1)由，得P是MN的中点. 设P(x,y)，M(x1,mx1),N(x2,-mx2),依题意得： ， 消去x1,x2，整理得. 当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆； 当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆； 当m=1时，方程表示圆. (2)由m＞1知方程表示焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线C恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意. 可设直线l的方程为y=kx+1， 直线与椭圆交点A(x3,y3),B(x4,y4). ?(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0. . . 要使∠AOB为锐角，只需＞0, ∴x3x4+y3y4＞0. 即m4-(k2+1)m2+1＞0，可得, 对于任意m＞1恒成立. 而，∴k2+1≤2,-1≤k≤1. 所以k的取值范围是［-1，1］. 【方法技巧】参数法求轨迹方程的技巧： 参数法是求轨迹方程的一种重要方法，其关键在于选择恰当的参数.一般来说，选参数时要注意： (1)动点的变化是随着参数的变化而变化的，即参数要能真正反映动点的变化特征；(2)参数要与题设的已知量有着密切的联系；(3)参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算，也便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等. 【探究创新】 【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 则x02+y02=9，=(x-x0,y), =(-x,y0-y). 由，得，解得, 代入x02+y02=9, 化简得点M的轨迹方程为. (2)由题意知k≠0, 假设存在弦CD被直线l垂直平分，设直线CD的方程为, 由，消去y化简得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)＞0， k2b2-k2-4＜0, 设C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中点P(xp,yp), 则, , ， 又, ∴,得, 代入k2b2-k2-4＜0，得 , 解得k2＜5,∴. ∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k的取值范围是或.
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