课时提能演练(五十)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.椭圆3x2＋2y2＝1的焦点坐标是( )
(A)(0，－)，(0，) (B)(0，－1)，(0,1)
(C)(1,0)，(－1,0) (D)(－，0)，(，0)
2.2b>0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于 .
9.(2012·铜川模拟)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y02＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为 ，直线＋y0y＝1与椭圆C的公共点个数为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(预测题)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的一个顶点为B(0，－b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积.
11.(2012·济南模拟)已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3) 与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.
(1)求m的值与椭圆E的方程；
(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围.
【探究创新】
(16分)已知直线x－2y＋2＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x＝分别交于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段MN的长度的最小值；
(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.方程变形为＋＝1，则a2＝，b2＝.
∴c＝＝＝.
∵焦点在y轴上，∴焦点坐标为(0，)，(0，－).
2.【解析】选B.∵当m＝4时，方程＋＝1表示圆，故不充分.
又当＋＝1表示椭圆时，
?20，
∴a＝2，又a2－b2＝2，得b2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)直线BF2的方程为y＝x－.
由，得点N的纵坐标为.又|F1F2|＝2，
∴＝×(＋)×2＝.
11.【解析】(1)点A代入圆C的方程，得(3－m)2＋1＝5，
∵m＜3，∴m＝1.圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.
设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，
即kx－y－4k＋4＝0.
∵直线PF1与圆C相切，∴＝.
解得k＝，或k＝.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去.
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0).
2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝6，a＝3，
a2＝18，b2＝2.椭圆E的方程为：＋＝1.
(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，
＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.
∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，
而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.
则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36].
x＋3y的取值范围是[－6,6].
∴x＋3y－6的取值范围是[－12,0]，
即的取值范围是[－12,0].
【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由.
【解析】(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0 ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，
解得k<－或k>，即k的取值范围为
(－∞，－)∪(，＋∞)，
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－. ②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2. ③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1).
所以与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
【探究创新】
【解析】(1)由题知A(－2,0)，D(0,1)，故a＝2，b＝1，
所以椭圆方程为：＋y2＝1.
(2)设直线AS的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，从而可知M点的坐标为(，).
由得S(，)，
所以可得BS的方程为y＝－(x－2)，从而可知N点的坐标(，－)，
∴|MN|＝＋≥当且仅当k＝时等号成立，
故当k＝时，线段MN的长度取最小值.
(3)由(2)知，当|MN|取最小值时，k＝，此时直线BS的方程为x＋y－2＝0，
S(，)，∴|BS|＝.要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线l′上.直线BS：x＋y－2＝0；直线l′：x＋y＋m＝0，得m＝－或m＝－，
则直线l′：x＋y－＝0或x＋y－＝0，
，消去y得5x2－20x＋21＝0，Δ<0无解；
，消去y得5x2－12x＋5＝0，Δ＝44>0，有两个解，所以点T有两个.
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