课时提能演练(五十一) (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.(2012·西安模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值为(　　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离 是(　　) (A)4　　　 　(B)6　　　　(C)8　　　　 (D)12 3.以抛物线y＝x2的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x＋3y＋2＝0相交所得的弦长为(　　) (A) (B)2 (C)4 (D)8 4.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线共 有(　　) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 5.(2012·榆林模拟)设F为抛物线y＝－x2的焦点，与抛物线相切于点P(－4，－4)的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF等于(　　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 6.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) (A)x＝1 (B)x＝－1 (C)x＝2 (D)x＝－2 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.(2012·长安模拟)抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝　　　　. 8.(预测题)过抛物线y＝8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为　　　　. 9.已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F. (1)求该椭圆的方程； (2)设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2＝4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由. 11.(预测题)如图，已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)与圆C2：x2＋y2＝交于M、N两点，且∠MON＝120°. (1)求抛物线C1的方程； (2)设直线l与圆C2相切. 若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程. 【探究创新】 (16分)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B. 某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想： (1)直线PA、PB恒垂直； (2)直线AB恒过焦点F； (3)等式中的λ恒为常数. 现请你一一进行论证. 答案解析 1.【解析】选C.∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，∴|AB|＝2p， ∴2p＝8，即p＝4. 2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|＝6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6. 【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化： (1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 3.【解析】选C.因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以，焦点坐标为(0,1)，即圆心坐标为(0,1)，它到直线4x＋3y＋2＝0的距离为d＝＝1，所以弦长为2＝4. 4.【解析】选C.作出图形，可知点(0,1)在抛物线y2＝4x外.因此，过该点可作抛物线y2＝4x的切线有两条，还能作一条与抛物线y2＝4x的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点. 5.【解题指南】转化为二次函数的切线问题，利用导数解答. 【解析】选D.∵x2＝－4y， ∴F(0，－1). ∵y′＝－x， ∴kl＝2，∴l：y＋4＝2(x＋4)， 令y＝0，得x＝－2，∴Q(－2,0). ∴kQF＝＝－，∴kl·kQF＝－1，∴∠PQF＝90°. 6.【解析】选B.方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为：y＝x－，与y2＝2px联立得：y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p， 由题意知：y1＋y2＝4， ∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1，故选B. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得y1＋y2＝4，y＝2px1，y＝2px2， 两式相减得：kAB＝＝＝＝1，∴p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是Δ≥0. (2)在椭圆＋＝1(a>b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－. (3)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. (4)在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 7.【解析】由题意得F(1,0)，准线l：x＝－1，则x＋1＝4， ∴x＝3. 答案：3 8.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4. 又∵y＝8x2即x2＝y，∴2p＝，p＝， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝. 答案： 9.【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，如图，过焦点F作直线x＋2y＋10＝0的垂线，此时d1＋d2最小，因为F(1,0)，所以d1＋d2＝＝. 答案： 【方法技巧】求圆锥曲线上点到直线距离最值问题的方法 一般转化为直线与该直线平行且与圆锥曲线相切的平行线间的距离求解；另外，也可在圆锥曲线上取一点(x0，y0)利用点到直线的距离公式，转化为求函数的最值. 10.【解析】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1， ∴a2－b2＝1 ① 又椭圆截抛物线的准线x＝－1所得弦长为， ∴得上交点为(－1，)， ∴＋＝1 ② 将①代入②得2b4－b2－1＝0，解得b2＝1或b2＝－(舍去)，从而a2＝b2＋1＝2， ∴该椭圆的方程为＋y2＝1. (2)∵倾斜角为45°的直线l过点F， ∴直线l的方程为y＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，由(1)知椭圆的另一个焦点为F1(－1,0)，设M(x0，y0)与F1关于直线l对称， 则得解得，即M(1，－ 2) 又M(1，－2)满足y2＝4x，故点M在抛物线上. 所以抛物线y2＝4x上存在一点M(1，－2)，使得M与F1关于直线l对称. 【变式备选】动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域(含边界)上运动，且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点Q(0，－1)作曲线C的切线，求所作的切线方程. 【解析】(1)设P(x，y)，根据题意， 得＋3－y＝4，化简，得y＝x2(y≤3). (2)设过Q的切线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程，整理得x2－4kx＋4＝0. 由Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1. 于是所求切线方程为y＝±x－1. 11.【解析】(1)因为∠MON＝120°，所以OM与x轴正半轴成30°角，所以点M的坐标为(，)，代入抛物线方程得()2＝2p×，求得p＝1， 所以抛物线C1的方程为x2＝2y. (2)由题意可设l：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0， 因为l与圆C2相切，所以＝， 即9b2＝16(k2＋1)　　(Ⅰ) 设直线l与抛物线C1：x2＝2y即y＝x2相切于点T(t，t2)，因为函数y＝x2的导数为y′＝x，所以　　　(Ⅱ) 由(Ⅰ)、(Ⅱ)解得或 所以直线l的方程为y＝－2x－4或y＝2x－4. 【探究创新】 【证明】(1)由x2＝2y，得y＝，对其求导，得y′＝x，设A(x1，)、B(x2，)， 则直线PA、PB的斜率分别为kPA＝x1，kPB＝x2， 由点斜式得直线PA方程为y－＝x1(x－x1)， 即y＝x1x－①， 同理，直线PB方程为y＝x2x－②， 由①、②两式得点P坐标为(，)， ∵点P在准线y＝－上，∴＝－， 即x1x2＝－1.∴kPA·kPB＝x1x2＝－1， ∴PA⊥PB，猜想(1)是正确的. (2)直线AB的斜率k＝＝， 由点斜式得直线AB方程为 y－＝(x－x1)， 将上式变形并注意到x1x2＝－1， 得y＝x＋， 显然，直线AB恒过焦点F(0，)，猜想(2)是正确的. (3)当AB∥x轴时，根据抛物线的对称性知A(－1，)、B(1，)或A(1，)、 B(－1，)， 这时点P坐标为(0，－). ＝(－1,0)·(1,0)＝－1，＝(0，－1)， ＝1，有λ＝－1. 下面证必成立， ∵＝(x1，)－(0，)＝(x1，)， ＝(x2，)－(0，)＝(x2，)， ∴＝x1x2＋(x－1)(x－1) ＝x1x2＋(xx－x－x＋1) ＝x1x2＋[(x1x2)2＋2x1x2－(x1＋x2)2＋1] ＝－1＋[(－1)2＋2×(－1)－(x1＋x2)2＋1] ＝－1－(x1＋x2)2. 又＝(，)－(0，) ＝(，－)－(0，)＝(，－1)， ∴＝(x1＋x2)2＋1，故，λ恒为－1.猜想(3)也是正确的. 【变式备选】已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C. (1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列； (2)设，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【解析】(1)由题意设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)， 联立方程可得得：k2x2＋(4k－4)x＋4＝0 ① 设A(x1，y1) ，B(x2 ，y2)，又C(－，0)，则 x1＋x2＝－，x1·x2＝ ② |MA|·|MB|＝|x1－0|·|x2－0|＝， 而|MC|2＝(|－－0|)2＝， ∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0 ， 即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列. (2)由得， (x1，y1－2)＝α(－x1－，－y1) (x2，y2－2)＝β(－x2－，－y2) 即得：α＝，β＝，则 α＋β＝ 由(1)中②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.
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