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课时提能演练(五十三)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆的右焦点到直线的距离是( )
（A） （B） （C）1 （D）
2.（2012·嘉兴模拟）已知A为椭圆上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|=3∶1,则该椭圆的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
3.（2012·哈尔滨模拟）椭圆的两顶点为A(a,0),B(0,b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
（A） （B） （C） （D）
4.（易错题）已知椭圆若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
5.若椭圆的离心率则m的值为( )
（A）1 （B）
（C） （D）
6.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足=0（O为坐标原点），若椭圆的离心率等于则直线AB的方程是( )
（A）y=x （B）y=-x （C）y=-x （D）y=x
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.方程表示椭圆，则k的取值范围是______．
8.（易错题）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于______.
9.椭圆M: 的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是［2c2，3c2］,其中则椭圆M的离心率e的取值范围是______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.（2012·衢州模拟）已知椭圆x2+（m+3）y2=m（m>0）的离心率求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标.
11.（预测题）已知点P（4，4），圆C：（x-m)2+y2=5(m＜3) 与椭圆E: 有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.
【探究创新】
（16分）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C: 的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:分别交于M,N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由.
答案解析
1. 【解析】选B.椭圆的右焦点为F（1，0）,
∴它到直线（即）的距离为
2. 【解析】选B.设|AF2|=m,则|AF1|=3m,
∴2a=|AF1|+|AF2|=4m.
又在Rt△AF1F2中，
3. 【解析】选B.由题意知,|BF|2+|BA|2=|FA|2,
即(b2+c2)+(a2+b2)=(a+c)2,
∴b2=ac,
即a2-ac-c2=0,
∴e2+e-1=0,又e＞0,
4. 【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M（x,y)， x1+x2=2x,y1+y2=2y,
①②两式相减得
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在椭圆的内部，
则即
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
5.【解析】选D.当椭圆的焦点在x轴上时，
由得解得m=3；
当椭圆的焦点在y轴上时，
由得解得
6.【解题指南】由=0知，A、B两点关于原点对称，设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1)，因为=0，所以
B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1)，=(2c,0)，
又因为所以(c-x1,-y1)·（2c,0)=0，即x1=c，代入椭圆方程得因为离心率所以，所以直线AB的方程是
7.【解析】方程表示椭圆，则
解得k>3.
答案：k>3
8.【解析】因为△F2AB是等边三角形，所以在椭圆上，所以因为c2=a2-b2，所以，4a4-8a2c2+c4=0，即e4-8e2+4=0，
所以，或（舍）．
答案：
【误区警示】本题易出现答案为或的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.
9.【解析】∵|PF1|·|PF2|的最大值为a2,
∴由题意知2c2≤a2≤3c2,
∴椭圆离心率e的取值范围是［,］.
答案:［,］
10.【解题指南】首先把椭圆的方程化为标准方程，再判断椭圆焦点位置，根据椭圆的离心率求m的值，最后求长轴和短轴的长及顶点坐标.
【解析】椭圆方程可化为
因为所以
即
由得解得m=1.
所以椭圆的标准方程为所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
四个顶点的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,（）,（）.
11.【解析】（1）点A代入圆C的方程，得（3-m）2+1=5，
∵m＜3,∴m=1.圆C的方程为（x-1)2+y2=5.
设直线PF1的斜率为k，则PF1:y=k(x-4)+4,
即kx-y-4k+4=0.
∵直线PF1与圆C相切，
解得或
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为不合题意，舍去.
当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4，
∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0).
a2=18,b2=2.椭圆E的方程为：
(2)
而x2+(3y)2≥2|x|·|3y|,∴-18≤6xy≤18.
则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是［0，36］.
x+3y的取值范围是［-6，6］.
∴x+3y-6的取值范围是［-12，0］,
即的取值范围是［-12，0］.
【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，经过点()且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知条件，直线l的方程为
代入椭圆方程得
整理得
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
解得
即k的取值范围为
（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2),则
由方程①，
又
而A(),B(0,1),= ()．
所以共线等价于将②③代入上式，解得
由（1）知故没有符合题意的常数k.
【探究创新】
【解析】（1）由题知A(-2,0),D(0,1),故a=2,b=1,所以椭圆方程为：
（2）设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0)，从而可知M点的坐标为().
由得S()，
所以可得BS的方程为从而可知N点的坐标()，
当且仅当时等号成立，
故当时，线段MN的长度取最小值.
（3）由（2）知,当|MN|取最小值时，，此时直线BS的方程为x+y-2=0，S()，要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于只需T到直线BS的距离等于所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线
l′上.直线BS：x+y-2=0；直线l′：x+y+m=0，得则直线l′：
消去y得5x2-20x+21=0,Δ<0无解；
消去y得5x2-12x+5=0,Δ=44>0,有两个解,
所以点T有两个．
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