课时提能演练(五十五)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是( )
（A） （B）
（C）1 （D）
2.设直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B(如图)，则这个椭圆的离心率e=( )
（A） （B）
（C） （D）
3.(2012·衡阳模拟)已知椭圆C的短轴长为6，离心率为则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为( )
(A)9 (B)1
(C)1或9 (D)以上都不对
4.(易错题)已知椭圆+=1,若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是( )
(A)(,) (B)(,）
(C)(,） (D)(,）
5.若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为( )
（A）1 （B）或 （C） （D）3或
6.已知F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足+=（O为坐标原点），=0，若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是( )
（A）y= （B）y=
（C）y= （D）y=
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是______．
8.(2012·岳阳模拟)已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心离为________.
9.椭圆M:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且
|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是［2c2，3c2］,其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是________.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.(2012·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围.
11.（预测题）已知点P（4，4），圆C：（x-m)2+y2=5(m＜3) 与椭圆E:+=1
(a＞b＞0)有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围.
【探究创新】
（16分）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C: +=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选B.椭圆+=1的右焦点为F（1，0）,
∴它到直线y=（即-y=0）的距离为=.
2.【解析】选A.B(0,1)，F(-2,0),
故c=2，b=1，a=＝，e==.
3.【解析】选C.由题意知b=3,
又得a=5.
∴c==4,
∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.
4.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M（x,y)，kAB==,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12 ①,
3x22+4y22=12 ②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,而M (x,y)在椭圆的内部，则+＜1,即＜m＜.
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧：
对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
5.【解析】选D.当椭圆+=1的焦点在x轴上时，
a=，b=，c=，
由e=，得=，解得m=3；
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，
a=，b=，c=，
由e=，得=，解得m=.
6.【解题指南】由+=知，A、B两点关于原点对称，设出A点坐标,利用向量列方程求解.
【解析】选A.设A(x1,y1)，因为+=，所以
B(-x1,- y1),=(c-x1,-y1)，=(2c,0)，
又因为·=0，所以(c-x1,-y1)·（2c,0)=0，即
x1=c，代入椭圆方程得y1=，因为离心率e=，所以，a=，b=c，A(c,)，所以直线AB的方程是y=.
7.【解析】方程+=1表示椭圆，则
，解得k>3.
答案：k>3
8.【解析】设正方形边长为2，由题意知，c=1,a=
∴e=
答案：
9.【解析】∵|PF1|·|PF2|的最大值为a2,
∴由题意知2c2≤a2≤3c2,
∴≤a≤,
∴≤e≤,
∴椭圆离心率e的取值范围是［,］.
答案:［,］
10.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0),因为e=,所以a2=4b2,又因为椭圆过点M(4,1),所以+=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为+=1.
(2)将y=x+m代入+=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,Δ=(8m)2-20(4m2-20)>0,解得-50，
解得k<或k>,即k的取值范围为（-∞,）∪（,+∞）,
（2）设P(x1,y1)，Q(x2,y2),则
+=(x1+x2,y1+y2),
由方程①，x1+x2=．②
又y1+y2=k(x1+x2)+．③
而A(,0),B(0,1), =(,1)．
所以+与共线等价于x1+x2=(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=．
由（1）知k<或k>，故没有符合题意的常数k.
【探究创新】
【解析】（1）由题知A(-2,0),D(0,1),故a=2,b=1,所以椭圆方程为：+y2=1.
（2）设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0)，从而可知M点的坐标为(,).
由得，
所以可得BS的方程为y=(x-2)，从而可知N点的坐标(,)，
∴|MN|=+≥当且仅当k=时等号成立，
故当k=时，线段MN的长度取最小值.
（3）由（2）知,当|MN|取最小值时，k=，此时直线BS的方程为x+y-2=0，S(,)，∴|BS|=.要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线l′上.直线BS：x+y-2=0；直线l′：x+y+m=0，得m=或m=,
则直线l′：x+y=0或x+y=0,
，消去y得5x2-20x+21=0,Δ<0无解；
,消去y得5x2-12x+5=0,Δ=44>0,有两个解,
所以点T有两个．
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