课时提能演练(五十二)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.(2012·合肥模拟)与椭圆＋＝1共焦点，且离心率互为倒数的双曲线方程是( )
(A)y2－＝1 (B)－x2＝1
(C)－＝1 (D)－＝1
2.(2012·宝鸡模拟)双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等
于( )
(A)－ (B)－4 (C)4 (D)
3.(2012·汉中模拟)已知双曲线mx2－ny2＝1(m>0，n>0)的离心率为2，则椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.(2012·宿州模拟)已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是( )
(A)－＝1 (B)x2－＝1
(C)－＝1 (D)－y2＝1
5.(易错题)设双曲线－＝1(b＞a＞0) 的半焦距为c，直线l在横纵坐标轴上的截距分别为实半轴、虚半轴的长，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为( )
(A)2 (B)
(C) (D)2或
6.(2012·西安模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且2a2＝3c，若双曲线C上的点P满足＝1，则的值是( )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为 .
8.(预测题)如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点，记＝e1，＝e2，任取双曲线C上的点P，若＝ae1＋be2，则实数a和b满足的一个等式是 .
9.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.点P是以F1，F2为焦点的双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上的一点，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，O为坐标原点.
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1，P2两点，且＝－，＝0，求双曲线E的方程.
11.已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3).
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，求证：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【探究创新】
(16分)某飞船返回仓顺利返回地球后，为了及时救出航天员，地面指挥中心在返回仓预计到达的区域内安排了三个救援中心(如图1分别记为A，B，C)，B地在A地正东方向上，两地相距6 km； C地在B地北偏东30°方向上，两地相距4 km，假设P为航天员着陆点，某一时刻A救援中心接到从P点发出的求救信号，经过4 s后，B、C两个救援中心也同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.
(1)求A、C两个救援中心的距离；
(2)求P相对A的方向角；
(3)试分析信号分别从P点处和P点的正上方Q点(如图2，返回仓经Q点垂直落至P点)处发出时，A、B两个救援中心收到信号的时间差的变化情况(变大还是变小)，并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选A.椭圆的焦点为(0,2)，(0，－2)，e＝.
由题意，令双曲线方程为－＝1.
则，∴a＝1，b＝，
∴双曲线方程为y2－＝1.
2.【解析】选A.双曲线方程mx2＋y2＝1化为标准形式
y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－.
∴2a＝2,2b＝2，
∴2×2＝2，∴m＝－.
3.【解析】选D.由题意，得＝2，
∴＝，即m＝3n.
不妨令n＝1，则m＝3.
∴椭圆方程为＋y2＝1，
∴a＝1，b＝，c＝＝，
∴e＝＝.
【变式备选】双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则的最小值
为( )
(A) (B) (C)2 (D)1
【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，
即c＝2a，c2＝4a2；
又因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4a2，即b＝a，
因此＝＝a＋≥2＝，当且仅当a＝时等号成立.即的最小值为.
4.【解题指南】数形结合，由对称性判定△FAB中的直角是解题的关键.
【解析】选C.由题意得抛物线的准线为x＝－2，F(2,0)
如图所示，由抛物线的对称性知∠AFB＝90°且|FA|＝|FB|，
∴A(－2,4)，
由题意得＝2，∴b＝2a，
∴－＝1，＝1，
∴a2＝2，b2＝8a2＝16.故选C.
5.【解析】选A.由题意得直线l的方程为＋＝1，
∴原点到l的距离d＝＝c.
又∵c2＝a2＋b2，∴ab＝c2，
∴＝，∴4＝e2.
∴3e4－16e2＋16＝0.解得e＝2或e＝.
∵0＜a＜b，∴e＝＞，∴e＝2.
【误区警示】本题易出现选D的情况，原因是求出离心率后，就认为已结束，而忽略了0＜a＜b这一条件.
6.【解析】选C.由条件知，∴，
∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
设||＝r1，||＝r2，
不妨令r1＞r2＞0，∠F1PF2＝θ，
∵·＝1，
∴r1·r2·cosθ＝1，
又r1－r2＝2，
∴r12＋r22－2r1r2＝12，
∴r12＋r22＝2r1r2＋12，
又由余弦定理知：4c2＝r12＋r22－2r1r2cosθ，
即16＝2r1r2＋12－2，∴r1r2＝3，
即||·||＝3，
故选C.
【变式备选】F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，且△F1PF2是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
(A)1＋ (B)2＋
(C)3－ (D)3＋
【解析】选A.设双曲线C的焦距为2c，依题设不妨令|F1F2|＝|PF2|，即2c＝，∴2c＝，
即2ac＝c2－a2，∴ e2－2e－1＝0，
∴e＝＝1±，又∵e＞1，∴e＝1＋.
7.【解析】当双曲线的焦点在x轴上时，＝.
不妨令b＝3t，a＝4t(t>0)，则c＝5t，∴e＝＝.
当双曲线的焦点在y轴上时，＝，
不妨令a＝3t，b＝4t(t>0)，则c＝5t，e＝＝.
答案：或
【误区警示】解答本题易漏解，只得答案，出错的原因是忽视了焦点的位置对渐近线方程的影响.
8.【解析】由题意可求出e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，设P(x0，y0)，则，∴－(a－b)2＝1，
∴ab＝.
答案：ab＝
9.【解析】双曲线的两个焦点F1(－4,0)、F2(4,0)分别为两个圆的圆心，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1.由题意得|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
答案：5
【方法技巧】圆锥曲线上的点到定点距离的和、差的最值的求法
一般不用选变量建立目标函数的方法求解，而是利用该点适合圆锥曲线的定义，将所求转化为与焦点的距离有关的最值问题，再利用数形结合法求解.
10.【解析】(1)∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵PF1⊥PF2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，即5a2＝c2，
∴e＝.
(2)由(1)知双曲线的方程可设为－＝1，渐近线方程为y＝±2x.
设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，
∵＝－3x1x2＝－?x1x2＝，
∵＝0?
∵点P在双曲线上，
∴ － ＝1，
化简得x1x2＝，∴＝?a2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
11.【解析】(1)由题意知，l的方程为y＝x＋2.
代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.设B(x1，y1)、D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－，①
由M(1,3)为BD的中点知＝1，
故×＝1，即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.
(2)由①②知，C的方程为：3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a.
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1或a＝－(舍去).
故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.
连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切.
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【探究创新】
【解析】(1)以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
A(－3,0)，B(3,0)，C(5,2)，
则|AC|＝＝2(km)，
即A、C两个救援中心的距离为2 km.
(2)∵|PC|＝|PB|，所以P在BC线段的垂直平分线上.
又∵|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|＝6，
∴双曲线方程为－＝1(x＜0).
BC的垂直平分线的方程为x＋y－7＝0，联立两方程解得： x＝－8.
∴P(－8,5)，∴kPA＝tan∠PAB＝－，∴∠PAB＝120°，
所以P点在A点的北偏西30°方向上.
(3)如图，设|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，
∵|QB|－|QA|＝－
＝
＝(x－y)·，
又∵＜1，
∴|QB| －|QA|＜|PB|－|PA|，
∴－＜－.
即从P点的正上方Q点处A、B收到信号的时间差比从P点处A、B收到信号的时间差变小.
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