课时提能演练(五十八) (45分钟 100分) 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( ) （A）［，］ （B）［－2，2］ （C）［－1，1］ （D）［－4，4］ 2.抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个 3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8 4.（2012·广州模拟）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( ) （A）3 （B）4 （C） （D） 5.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且｜PM｜=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为( ) (A)5 (B)10 (C)20 (D) 6.(预测题)点P在直线l:y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是( ) (A)直线l上的所有点都是“点” (B)直线l上仅有有限个点是“点” (C)直线l上的所有点都不是“点” (D)直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 二、填空题（每小题6分，共18分） 7.(2012·长沙模拟)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________. 8.若直线AB与抛物线y2=4x交于A、B两点，AB的中点坐标是（4，2），则直线AB的方程是______. 9.（2011·南京模拟）设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使得△PAB的面积为的点P的个数为_____. 三、解答题（每小题15分，共30分） 10.(易错题)已知动圆过定点（2，0），且与直线x=-2相切． (1)求动圆的圆心轨迹C的方程； (2)是否存在直线l，使l过点(0, 2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足· =0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 11.（2012·宁德模拟）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C. （1）求曲线C的方程； （2）过点（0，）作两条互相垂直的直线l1、l2分别与曲线C交于A、B和E、D，以线段AB为直径的圆能否过坐标原点？若能，求直线AB的斜率；若不能，说明理由. 【探究创新】 （16分）如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B′；折痕与AB交于点E，以EB和EB′为邻边作平行四边形EB′MB.若以B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）：  (1)求点M的轨迹方程； (2)若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面积的最小值. 答案解析 1.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ=64-64k2≥0，解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1. 2.【解析】选C.由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此共有2个满足条件的圆． 3.【解析】选C，设P(x0,y0)，则+=1即=3-，又∵F(-1,0), ∴·=x0·(x0+1)+y02=+x0+3 =+2，又x0∈［-2,2］， ∴(·)∈［2,6］，所以(·)max=6. 4.【解题指南】转化为过A，B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题求解. 【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2), 由?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1, 得AB的中点M（，） 又M（，）在直线x+y=0上，可求出b=1, ∴x2+x-2=0, 则|AB|=·=. 【方法技巧】对称问题求解技巧 若A、B两点关于直线l对称，则直线AB与直线l垂直，且线段AB的中点在直线l上，即直线l是线段AB的垂直平分线，求解这类圆锥曲线上的两点关于直线l的对称问题，常转化为过两对称点的直线与圆锥曲线的相交问题求解. 5.【解析】选B.由抛物线方程y2=4x易知准线l的方程为x=-1,又由｜PM｜=5,可得点P的横坐标为4,代入y2=4x可求得其纵坐标为±4, 所以S△MPF=×5×4=10. 6.【解题指南】由|PA|=|AB|可得点A为线段PB的中点. 【解析】选A.本题用数形结合法易于求解，如图，设A(m,n)，P(x,x-1), 则B(2m-x,2n-x+1)， ∵A,B在y=x2上， ∴  消去n,整理得 x2-(4m-1)x+2m2-1=0.（1） ∵Δ=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+5＞0恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A. 7.【解析】直线方程为y=2(x-1). 由得3y2+2y-8=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ∴ ∴ 答案： 8.【解析】设A（x1,y1)，B（x2,y2)则 ②-①得y22-y12=4（x2-x1) ∴===1, 即直线AB的斜率为1，则直线AB的方程为y-2=x-4，即x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 9.【解题指南】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程，最后数形结合求解. 【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点（1，0），（0，2），故|AB|=，要使△PAB的面积为，即··h=，所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=，即平移直线l到y=-2x时与椭圆相切，它们与直线l的距离d=都大于，所以一共有4个点符合要求. 答案：4 10.【解析】(1)如图，设M为动圆圆心，F(2,0)，过点M作直线x=-2的垂线，垂足为N，  由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与到定直线x=-2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2，0)为焦点，x=-2为准线， 所以动圆圆心轨迹C的方程为y2=8x. （2）由题可设直线l的方程为x=k(y-2)(k≠0)， 由，得y2-8ky+16k=0, Δ=(-8k)2-4×16k＞0,解得k＜0或k＞1. 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1+y2=8k，y1y2=16k， 由·=0，得x1x2+y1y2=0， 即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0， 整理得：(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0， 代入得16k(k2+1)-2k2·8k+4k2=0， 即16k＋4k2＝0， 解得k=-4或k=0(舍去)， 所以直线l存在，其方程为x+4y-8=0. 【误区警示】本题易忽视判别式大于零，从而得出两条直线方程. 11.【解析】（1）设P（x,y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，），（0，）为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴b==1,故曲线C的方程为x2+=1. (2)设直线l1：y=kx+,分别交曲线C于A（x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足,消去y并整理得(k2+4)x2+-1=0, 故x1+x2=,x1x2=. 若以线段AB为直径的圆过坐标原点，则⊥，即x1x2+y1y2=0. 而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3, 于是x1x2+y1y2==0, 化简得-4k2+11=0,所以k=. 【变式备选】已知椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左焦点为F(-1,0)，离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. 【解析】（1）由题意可知：c=1，a2=b2+c2，e==,解得：a=,b=1,故椭圆的方程为：+y2=1. (2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)， 联立，得,整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程有两个不等实根，记A（x1,y1),B(x2,y2), AB的中点N（x0,y0), 则x1+x2=,x0=,y0= 垂直平分线NG的方程为y-y0=(x-x0)， 令y=0,得xG=x0+ky0= == ∵k≠0,∴＜xG＜0. ∴点G横坐标的取值范围为（，0）. 【探究创新】 【解析】(1)如图，设M（x,y）， B′(x0,2)  显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,即E（0，b）, 则kBB′==k= 而BB′的中点(,1)在直线l上， 故()·+b=1b=1+，① 由于= + ? (x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)? 代入① 即得y=+1， 又0≤x0≤2，点M的轨迹方程y=+1（0≤x≤2）. (2)易知曲线S的方程为y=+1(-2≤x≤2), 设梯形A1B1C1D1的面积为s，如图，点P的坐标为(t, -t2+1)(0＜t≤2).由题意得，点Q的坐标为(0,1)，  直线B1C1的方程为y=1. 因y=+1，∴y′=，∴y′|x=t=, ∴直线A1B1的方程为y-()=(x-t), 即：y=，令y=0，得，x=, ∴A1(,0). 令y=1得，x=t，∴B1(t,1)， s==≥， 当且仅当t=，即t=时取“=”，且∈(0,2］, 故t=时，s有最小值为. ∴梯形A1B1C1D1的面积的最小值为．
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