巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2013·合肥检测)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程为( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
解析：设直线y＝2x＋1上任意一点．(x0，y0)关于点(1,1)对称点为 (x，y)，则又y0＝2x0＋1，故2－y＝2(2－x)＋1，化简得y＝2x－3，选D.
答案：D
2．(2013·济宁调研)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
解析：l的斜率为－1，则l1的斜率为1，
kAB＝＝1，a＝0.
由l1∥l2，－＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2.
答案：B
3．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到l的距离为，则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
解析：由得交点(2,2)，
设l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，
∴＝，解得k＝3.
∴l的方程为3x－y－4＝0.
答案：C
4．(2013·武汉调研)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B．－
C．－或－ D.或
解析：由题意知＝，
解得a＝－或a＝－.
答案：C
5．(2013·孝昌质检)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．2 B．3
C．3 D．4
解析：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，
∴点M到原点的距离的最小值为d＝＝3.
答案：C
6．点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是(0°≤θ≤180°)，那么θ＝( )
A．150° B．30°或150°
C．30° D．30°或210°
解析：由题意知＝＝|sinθ－sin2θ|，
又0≤sinθ≤1，∴sin2θ－sinθ＋＝0，2＝0.
∴sinθ＝.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°.
答案：B
二、填空题
7．(2013·临沂质检)已知A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是__________．
解析：方法一：设点A关于直线y＝x＋1对称的点A′(x0，y0)，则
解得即A′(0,4)．
∴直线A′B的方程为2x－y＋4＝0.
由得即C(－3，－2)．
∴直线AC的方程为x－2y－1＝0.
方法二：设点B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x0，y0)，则x0＝2－1＝1，y0＝－1＋1＝0，即B′(1,0)
故AC方程为(3－1)(y－0)＝(1－0)(x－1)，
即x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
8．(2013·台州月考)过点A(2，－3)，且与向量m＝(4，－3)垂直的直线方程是__________．
解析：与向量平行的直线斜率为－，则与其垂直的直线斜率为，
∴直线方程 为y＋3＝(x－2)，即4x－3y－17＝0.
答案：4x－3y－17＝0
9．(2013·安庆调研)从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．
解析：由题意得，射出的光线方程为y－3＝(x－2)，
即x－2y＋4＝0，与y轴交点为(0,2)．
又(2,3)关于y轴对称点为(－2,3)，
∴反射光线所在直线过(0,2)，(－2,3)，
故方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0.
答案：x＋2y－4＝0
三、解答题
10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线.
解析：(1)直线l：3x＋4y－12＝0，kl＝－.
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.
∴直线l′为y＝－(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±.
∴直线l′为y＝(x＋)或y＝(x－)．
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x0，y0)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0.
∴直线l′为3x＋4y＋12＝0.
11．(2013·黄山段考)已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
解析：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，
即a2－a－b＝0.①
又点(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2，∴＝1－a，∴b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
(a－1)x＋y＋＝0，
(a－1)x＋y＋＝0.
又原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝.
∴a＝2或a＝.
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
12．已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和y＝0上分别有点M和N使△AMN的周长最短，求点M、N的坐标．
解析：A(3,1)关于y＝x的对称点A1(1,3)，A(3,1)关于y＝0的对称点A2(3，－1)，△AMN的周长最小值为|A1A2|，|A1A2|＝2，A1A2的方程为2x＋y－5＝0.
A1A2与x－y＝0的交点为M，
由?M.
A1A2与y＝0的交点N，
由?N.
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