巩固双基,提升能力
一、选择题
1．(2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离
d＝≤1＜.
∴直线与圆相交，故选C.
圆与直线的位置关系一般运用圆心到直线的距离d与半径关系判断．若直线过定点，也可通过该点在圆内、圆外或圆上去判断．
答案：C
2．(2012·天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．[1－，1＋]
B．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
C．[2－2，2＋2]
D．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)
解析：由题得＝1，即(m＋n)2＝(m＋1)2＋(n＋1)2≥，令t＝m＋n，得t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2，故m＋n的取值范围为(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)．
答案：D
3．(2013·临沂质检)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|O＋O|＝|O－O|，其中O为坐标原点，则实数a的值为( )
A．2 B．±2 C．－2 D．±
解析：如图，作平行四边形OADB，
则O＋O＝O，O－O＝B，
∴|O|＝|B|.
又|O|＝|O|，
∴四边形OADB为正方形．
易知|O|为直线在y轴上的截距的绝对值，∴a＝±2.
答案：B
4．(2013·安徽师大附中月考)直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量v＝( )
A．(2，－2) B．(1,1)
C．(－3,2) D.
解析：由已知得(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心(1,1)，半径，
直线kx－y－2k＋2＝0.
∵直线与圆相切，∴＝.∴k＝－1.
∴直线的一个方向向量为(2，－2).
答案：A
5．(2013·珠海调研)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A. B. C．2 D．2
解析：圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C(0,1)，半径为1，∴|PC|2＝|PA|2＋1.
又S四边形PACB＝2××|PA|×1＝|PA|，
∴当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小．
又|PC|最小为C到直线kx＋y＋4＝0的距离d＝，
∴面积最小为2时，有22＝2－1，解得k＝2(k＞0).
答案：D
6．(2013·湛江调研)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上的一点M(x，y)满足O·C＝0，则等于( )
A. B.或－
C. D.或－
解析：∵O·C＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线．
设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
答案：D
二、填空题
7．过点P(3,4)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，则线段AB的长为__________．
解析：如图所示，|OP|＝＝5，|OB|＝1，则|PB|＝＝2，从而|BC|＝＝，|AB|＝2|BC|＝.
答案：
8．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d＋d＝3.
由平面几何知识知|AC|＝2，|BD|＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|
＝2·
≤(4－d)＋(4－d)
＝8－(d＋d)
＝5，
即四边形ABCD的面积的最大值为5.
答案：5
9．(2013·安徽联考)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则ab的最大值是__________．
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径r＝2，
若直线截得的弦长为4，则圆心在直线上，
所以－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1.
所以ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号．
故(ab)max＝.
答案：
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
解析：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2＞0.
因此x1,2＝，
从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，
所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②
由①，②得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.
11．(2013·苏北三市联考)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖．
(1)试求圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A、B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．
解析：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是，
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)设直线l的方程是y＝x＋b，
因为CA⊥CB，所以圆C到直线l的距离是，
即＝，解得b＝－1±.
所以直线l的方程为y＝x－1±.
12．(2013·揭阳调研)已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
解析：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，
此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，解得a＝－.
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