巩固双基,提升能力
1．(2013·郓城实验中学期末)已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(0, 1) B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5)
解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆＋＝1外部即可．
从而m≥1，又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).
答案： C
2．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，
直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.
答案：D
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而≥，故≥2.
答案：D
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
答案：C
5．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1
C．e2－k2＞1 D．e2－k2＜1
解析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1.
答案：C
6．(2013·绍兴调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)
则k1＝，k2＝.
又∵M、N、P都在双曲线－＝1上，
∴
∴b2(x2－x)＝a2(y2－y)．
∴＝.
∴＝|k2|，即|k1|·|k2|＝.
又∵|k1|＋|k2|≥2＝.
∴＝1，即4b2＝a2.
∴4(c2－a2)＝a2，即4c2＝5a2.
∴＝，即e2＝，∴e＝.
答案：B
二、填空题
7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AM＝MB，则该椭圆的离心率为__________．
解析：如图，直线AB斜率为1，且AM＝MB，故M的坐标为(－，)，代入椭圆的方程＋＝1得＋＝1，即a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴3c2＝2a2，e2＝，e＝.
答案：
8．(2013·长沙一中期末)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于__________．
解析：如图，抛物线的准线设为l，D为x轴上F右侧一点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|.
又AB斜率为，∴倾斜角∠AFD＝60°，在梯形AA1B1B中，∠BAA1＝60°，|AB|＝2(|AA1|－|BB1|)，即|FA|＋|FB|＝2(|FA|－|FB|)，得|FA|＝3|FB|.
答案：3
9．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1有且仅有一个公共点，则k＝__________.
解析：由得(1－k2)x2－2kx－2＝0.
当1－k2＝0即k＝±1时，方程组有唯一解，满足题意；
当1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即k＝±时，方程组有唯一解，也满足题意.
答案：±1或±
三、解答题
10．(2013·安徽联考)已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝xi＋(y－1)j，b＝xi＋(y＋1)j，且满足|a|＋|b|＝2.
(1)求点P(x，y)的轨迹C的方程；
(2)设点F(0,1)，点A，B，C，D在曲线C上，若与共线，与共线，且·＝0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值．
解析：(1)∵|a|＋|b|＝2，
∴＋＝2.
由椭圆的定义可知，动点P(x，y)的轨迹是以点F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点，以2为长轴的椭圆．
∴点P(x，y)的轨迹C的方程为：x2＋＝1.
(2)由条件知AB和CD是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且AB⊥CD，直线AB、CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，又AB过点F(0,1)，故AB的方程为y＝kx＋1，将此式代入椭圆方程得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＝，x2＝，
从而|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
亦即|AB|＝.
①当k≠0时，CD的斜率为－，同上可推得|CD|＝，
故四边形ABCD面积
S＝|AB||CD|
＝×
＝.
令u＝k2＋，得S＝＝2.
∵u＝k2＋≥2，当k＝±1时u＝2，S＝，且S是以u为自变量的增函数，∴≤S＜2.
②当k＝0时，CD为椭圆长轴，|CD|＝2，|AB|＝，
∴S＝|AB||CD|＝2.
故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为，2.
11．(2012·辽宁)如图，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．
(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1，
从而y＝b2，
代入③得－＝1(x＜－a，y＜0)．
(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故xy＝xy.
因为点A，A′均在椭圆上，
所以b2x＝b2x.
由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，
因此t＋t＝a2＋b2为定值．
12．(2012·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于A，B和C，D.
证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
解析：(1)方法一：设M的坐标为(x，y)，由已知得
|x＋2|＝－3.
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.
(2)当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.
于是＝3.
整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故k1＋k2＝－＝－.②
由得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程③的两个实根，所以y1y2＝.④
同理可得y3y4＝.⑤
于是由②，④，⑤三式得
y1y2y3y4＝
＝
＝
＝6 400.
所以，当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.
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