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课时提能演练(六十五)
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是 ( )
(A)X＝4 (B)X＝5 (C)X＝6 (D)X≤5
2.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
(A)n＝3 (B)n＝4 (C)n＝10 (D)n＝9
3.(2012·嘉兴模拟)设随机变量Y的分布列为：
Y
－1
2
3
P
m
则“≤Y≤”的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
4.若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
则常数c的值为( )
(A)或 (B)
(C) (D)1
5.(2012·淮安模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
(A)0 (B) (C) (D)
6.若某一射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数X≥7”的概率是( )
(A)0.88 (B)0.12 (C)0.79 (D)0.09
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是 .
8.(易错题)随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝ .
9.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是 .
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·义乌模拟)某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队(简称“科服队”)，他们参加活动的有关数据统计如下：
参加活动次数
1
2
3
人数
2
3
5
(1)从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；
(2)从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列.
11.(2011·广东高考改编)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.
【探究创新】
(16分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)若袋中共有10个球；
①求白球的个数；
②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列.
(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球的个数最少.
答案解析
1.【解析】选C.事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.
2.【解析】选C.P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝＝0.3，
∴n＝10.
3.【解析】选C.∵＋m＋＝1，
∴m＝，
∴P(≤Y≤)＝P(2)＋P(3)＝.
4.【解题指南】根据分布列的性质列出不等式组求解.
【解析】选C.由，得c＝.
5.【解题指南】本题符合两点分布，先求出分布列，再根据分布列的性质求出概率P(X＝0).
【解析】选C.设失败率为p，则成功率为2p.
∴X的分布列为：
X
0
1
P
p
2p
则“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，
∴由p＋2p＝1得p＝，
即P(X＝0)＝.
6.【解析】选A.P(X≥7)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
7.【解析】X＝－1，甲抢到1题但答错了.
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错.
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对.
X＝3时，甲抢到3题均答对.
答案：－1,0,1,2,3
8.【解题指南】根据a，b，c成等差数列及a＋b＋c＝1求出b的值再求解.
【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
答案：
9.【解题指南】女生人数服从超几何分布.
【解析】设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
10.【解析】(1)3人参加活动次数各不相同的概率为
P＝＝，
故这3名同学参加活动次数各不相同的概率为.
(2)由题意知：ξ＝0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝.
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
【方法技巧】随机变量分布列的求法
(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件，思考目标事件如何用基本事件来表示，求出随机变量所有可能的值；(2)利用对立事件和互斥事件求出取每一个值时的概率，计算必须准确无误；(3)注意运用分布列的两条性质检验所求概率，确保正确后列出分布列.
11.【解题指南】(1)由已知求出抽取比例，从而求得乙厂生产的产品数量；
(2)由表格中数据估计乙厂生产的优等品率，然后估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)先确定ξ的所有取值，逐个计算出概率，列出分布列.
【解析】(1)由题意知，抽取比例为＝，则乙厂生产的产品数量为5×7＝35(件)；
(2)由表格知乙厂生产的优等品为2号和5号，所占比例为.由此估计乙厂生产的优等品的数量为35×＝14(件)；
(3)由(2)知2号和5号产品为优等品，其余3件为非优等品.ξ的取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
从而分布列为
ξ
0
1
2
P
【变式备选】一球赛分为A、B两组，每组各有5个球队，第一轮比赛后每组的前两名将进入半决赛.为提高上座率，举行有奖竞猜活动(入场券背面设计成选票)：首场入场后立即要求观众从两组中各猜2个能进入半决赛的球队，猜中四个队获一等奖，猜中三个队获二等奖，猜中两个队获三等奖，猜中一个队获四等奖.设某人的获奖等级为ξ(当该人未获奖时，记 ξ＝5)，写出分布列.
【解析】ξ的可能取值为1,2,3,4,5
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，
P(ξ＝4)＝＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
【探究创新】
【解析】 (1)①记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则
P(A)＝1－＝，得x＝5.故白球有5个.
②随机变量X的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为：
(2)设袋中有n个球，其中有y个黑球，
由题意得y＝n，
所以2y＜n,2y≤n－1，故≤.
记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P(B)＝
＝·＋·＋·
＝＋×≤＋×＝.
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于，故袋中红球个数最少.
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