【解析分类汇编系列一：北京2013高三期末】：9圆锥曲线
一、选择题
1．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 （ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设, 过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选D.
2．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）方程的曲线是 （ ）
A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线
【答案】C
【解析】由得，即，为两条直线，选C.
3．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形，所以，所以点，代入双曲线方程，当时，，得，所以由，的，即，所以，解得离心率，选D.
4 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，
所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选B.
5（ 北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选B.
6（ 北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当点P位于椭圆的两个短轴端点时，为等腰三角形，此时有2个。,若点不在短轴的端点时，要使为等腰三角形，则有或。此时。所以有，即，所以，即，又当点P不在短轴上，所以，即，所以。所以椭圆的离心率满足且，即，所以选D.
二、填空题
7．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .
【答案】
【KS5U解析】双曲线的渐近线方程为，要使双曲线与直线无交点，则，即，所以，即，，所以，即离心率的取值范围是，即。
8．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知椭圆 的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是______．
【答案】
【解析】由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以△的面积。
9．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷）在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_______.
【答案】4
【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以.
10．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，不妨取，即。双曲线的右焦点为，圆心到直线的距离为，即圆的半径为4，所以所求圆的标准方程为。
11.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）以为渐近线且经过点的双曲线方程为______.
【答案】
【解析】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴，且，又双曲线的渐近线为，所以双曲线为等轴双曲线，即，所以双曲线的方程为。
12.（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】由双曲线的方程可知，设右焦点为，则。，即，所以，当且仅当 三点共线时取等号，此时，所以，即的最小值为9.
三、解答题
13.（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
【答案】（1）设动点的坐标为，由题意得 ……………2分
化简得
当时；当时
所以动点的轨迹的方程为和（） ………………………5分
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 ．
由
设则
， …………………………7分
因为，所以的斜率为．设，则同理可得 ， …………………………8分
…………………………………11分
……………………………13分
当且仅当即时，取最小值16． …………………………14分
14．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知椭圆的离心率为
（I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.
【答案】（I）
解得
椭圆的方程为 …………………………4分
（II）（i）∵e椭圆的方程可化为：
①
易知右焦点，据题意有AB： ②
由①，②有： ③
设，
………………………8分
（2）（ii）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等成立.
设M（x，y），
又点M在椭圆上， ④
由③有：
则
⑤
又A，B在椭圆上，故有 ⑥
将⑥，⑤代入④可得： ……………………14分
15.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3分
故曲线的方程为． …………………………………………………5分
（Ⅱ）存在△面积的最大值. …………………………………………………6分
因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．
则
整理得 ．…………………………………7分
由．
设．
解得 ， ．
则 ．
因为
． ………………………10分
设，，．
则在区间上为增函数．
所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．………………………………………………………………13分
16.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知椭圆C：，左焦点，且离心率
(Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A. 求证：直线过定点,并求出定点的坐标.
【答案】（Ⅰ）由题意可知： ……1分
解得 ………2分
所以椭圆的方程为： ……3分
（II）证明：由方程组 …4分
整理得 ………..5分
设
则 …….6分
由已知，且椭圆的右顶点为 ………7分
……… 8分
即
也即 …… 10分
整理得： ……11分
解得均满足 ……12分
当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13分
当时，直线的方程为,过定点
故直线过定点，且定点的坐标为 …….14分
17.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，
两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．
【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线的方程为． ………………1分
将其代入，消去，整理得 ． ………………4分
从而． ………………5分
（Ⅱ）证明：设，．
则 ． ………………7分
设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得 ． ………………9分
所以 ． ………………10分
同理可得 ． ………………11分
故． ………………13分
由（Ⅰ）得 ，为定值． ………………14分
18．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
【答案】(I)将圆的一般方程化为标准方程,则圆的圆心,半径.由得直线的方程为.
由直线与圆相切,得,
所以或(舍去).
当时,,
故椭圆的方程为
(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为,
则直线的方程为.
因为点在椭圆内,
所以对任意,直线都与椭圆交于不同的两点.
由得.
设点的坐标分别为,则
,
所以
.
又因为点到直线的距离,
所以的面积为
设,则且,
.
因为,
所以当时,的面积达到最大,
此时,即.
故当的面积达到最大时,直线的方程为
19.（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．
【答案】（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分
则 ，． …………………………………………2分
所以 ， …………………………………3分
所以 椭圆方程为． …………………………………………4分
（Ⅱ）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为．因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直． …………………………………………6分
于是，设直线的方程为，点，， …7分
则 整理得， … 8分
， ………………………………………… 9分
所以 ． ……………………………………… 10分
因为 四边形为平行四边形，
所以 ， ……………………………………… 11分
所以 点的坐标为， ……………………………12分
所以 ， ……………………………13分
解得，
所以． ………………………………14分
20．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．
（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．
【答案】（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分
C1 ,C2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分
C2的方程为．
当m=时，A,C． .………………………………………….5分
又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分
C1 ,C2的方程分别为，．………………………………….7分
（Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分
OB∥AN,,
, ． …………………………………….11分
，(，． ………………………………………12分
，(，(．..................................13分
21.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．
【答案】（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为……5分
（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，
则由
消去得，， …………………6分
， ①…………7分
设点的坐标分别为，则：
，…………8分
由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分
从而，化简得，经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为：
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，
从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
22.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.
【答案】（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，
由解得,所以.
因为△的面积为，解得.
所以椭圆的方程为. …………………………………………………4分
（Ⅱ）由得，显然.…… ………5分
设,
则，………………………………………………6分
,.
又直线的方程为，由解得，
同理得.所以,……………………9分
又因为
.…………………………13分
所以,所以以为直径的圆过点. …………………………………14分
23．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.
【答案】（Ⅰ）将代入，得
所以抛物线方程为，焦点坐标为 ……3分
（Ⅱ）设，，，
法一：
因为直线不经过点，所以直线一定有斜率
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：
则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
所以
………………13分
所以，即为定值 ………………14分
法二：
设直线方程为
与抛物线方程联立得到 ，消去，得：
则由韦达定理得：
………………6分
直线的方程为：，即，
令，得 ………………9分
同理可得： ………………10分
又 ，
………………12分
所以，即为定值 ………………13分
24．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．
【答案】（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，
又因为，所以，解得，
故椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）将代入并整理得，
解得． …………………7分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明． 设，，
则． …………………9分
所以直线的斜率互为相反数． …………………14分
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