【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】9：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
抛物线的焦点（1，0），准线为：，设AB的中点为 E，过?A、E、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EF为直角梯形的中位线知，所以,即则B的中点到y轴的距离等于4．选D.
2．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线的渐近线与抛物线有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
双曲线的渐近线为，不妨取，代入抛物线得，即，要使渐近线与抛物线有公共点，则，即，又，所以，所以。所以此双曲线的离心率的取值范围是，选A.
3 ．（2013北京海淀二模数学理科）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
抛物线的焦点为，即,所以双曲线中。双曲线与该抛物线的一个交点为，（不妨设在第一象限）若是以为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。所以,所以,即，所以,解得，即.又在双曲线上，所以,即，所以，即双曲线的离心率。选B.
4．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据对称可知，正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线上，设,则，即，又，即，所以，，即。所以选B.
二、填空题
5．（2013北京昌平二模数学理科）曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论:
①曲线过点;
②曲线关于点对称;
③若点在曲线上,点分别在直线上,则不小于
④设为曲线上任意一点,则点关于直线、点及直线对称的点分别为、、,则四边形的面积为定值.
其中,所有正确结论的序号是__________________.
【答案】②③④
设动点为，则由条件可知。①，将代入得，所以不成立。故方程不过此点，所以①错。②把方程中的被代换，被 代换，方程不变，故此曲线关于对称．②正确。③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线上，则，所以，故③正确。④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形的面积为．所以④正确。综上所有正确结论的序号是②③④。
6．（2013北京房山二模数学理科）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线
上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.
【答案】，
因为抛物线的焦点坐标为，所以。所以抛物线的方程为。设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，与抛物线联立得，即。当判别式时，解得，即切线方程为。所以两平行线的距离为。所以的最小值等于。
7．（2013北京昌平二模数学理科）双曲线的一条渐近线方程为,则_________.
【答案】
双曲线的渐近线方程为，即。
8．（2013北京顺义二模数学理科）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为_______________.
【答案】，
椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的顶点为，即，又，所以，解得，所以。所以双曲线的焦点坐标为。双曲线的渐近线方程为。
9．（2013北京丰台二模数学理科）若双曲线C: 的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______.
【答案】
双曲线的离心率为，即，所以，，解得。即双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为，不妨取渐近线为。抛物线的焦点坐标为，由点到直线的距离公式可得，。
三、解答题
10．（2013北京东城高三二模数学理科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
(Ⅲ)如果直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
【答案】(共13分)解: (Ⅰ)因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为.
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为,
所以 解得 ,. 所以.
因为点在椭圆:上,所以.
因为, 所以.所以的取值范围为.
(Ⅲ)由题意消去 ,整理得.可知.
设,,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即 . 又因为,
所以.所以
11．（2013北京房山二模数学理科）已知椭圆:的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ), ,,,
(Ⅱ)设 , ,由
, ① ②
,
设为点到直线BD:的距离,
当且仅当时等号成立
∴当时,的面积最大,最大值为
12．（2013北京丰台二模数学理科）已知椭圆C:的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)若?BME面积是?AMF面积的5倍,求m的值.
【答案】解:(Ⅰ)依题意知,,;
(Ⅱ),M (m,),且,
直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,
由得,
由得,;
(Ⅲ),,,
,,,
,整理方程得,即,
又,, ,为所求
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