【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】9圆锥曲线
1.（2013届北京石景山区一模理科）7．对于直线l：y=k (x+1)与抛物线C：y2= 4x，是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
联立方程组，消去y并整理得，，
当k=0时，上式变为，解得x=0，与C有唯一交点。当k≠0时，，解得。故与C有唯一交点的充要条件为k=0，或。所以是直线l与抛物线C有唯一交点充分不必要条件，选A。
2.（2013届北京朝阳区一模理科）（7）抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF。由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab
配方得， ，又因为，所以,所以，所以,即的最大值为．选：A
3．（2013届北京大兴区一模理科）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
双曲线的标准方程为，所以，且，因为，所以，，即，解得，选D.
4．（2013届北京海淀一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为抛物线的焦点,准线方程为。过P作准线的垂线交准线于E,则，所以，即，所以当为抛物线的切线时，最大。不妨设P在第一象限，设过A的直线斜率为，则直线的方程为，代入，整理得，由解得，所以，此时，所以点.所以，即则的最小值是. 选B.
5．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
抛物线的焦点坐标为，所以双曲线中。又，所以。所以双曲线飞渐近线方程为，选D.
6．（2013届东城区一模理科）已知，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为圆的半径为，所以三角形为直角三角形，又，所以，所以。又，即，选D.
7．（2013届门头沟区一模理科）已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
由题意知，所以。又的取值范围为，所以双曲线的渐近线效率，且焦点在轴上。即，所以，解得，所以双曲线的方程为，选C.
8．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称．点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______．
【答案】
由题意知,且，所以,所以，即，所以，解得。
9．（2013届房山区一模理科数学）已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为 .
【答案】
由题意知，所以。又点在双曲线上，所以，即，所以。双曲线的渐近线方程为。
10．（2013届北京大兴区一模理科）已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。
【答案】（I）设P点坐标，则（），（），
由已知，化简得：.
所求曲线C的方程为（）。
（II）由已知直线AQ的斜率存在，
且不等于0，设方程为，
由，消去得：
（1）.
因为，是方程（1）的两个根，
所以，得，
又，所以。
当，得，即。
又直线BQ的斜率为，方程为，当时，得，即。
直线BM的斜率为，方程为。
由，消去得：
（2）.
因为2，是方程（2）的两个根，所以
，
得，又，即。
由上述计算：，，。
因为，，所以。
所以A、D、N三点共线。
11．（2013届北京丰台区一模理科）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A，B。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。
【答案】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意
，解得，，所以椭圆C的方程为. …………5分
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),
由得, …………………6分
，所以,…7分
,
，, ……………8分
线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），
，即，，…………10分
，
整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。………13分
12．（2013届北京海淀一模理科）已知圆：（）.若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为.
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在直线：，使得直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点，点在线段上，且，求圆半径的取值范围.
【答案】（I）设椭圆的焦距为，
因为，，所以，所以.
所以椭圆：………………4分
（II）设（，），(，)
由直线与椭圆交于两点，，则
所以 ，则，………………6分
所以………………7分
点（，0）到直线的距离
则………………9分
显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，
所以要使，只要
所以
………………11分
当时，………………12分
当时，
又显然, 所以
综上，………………14分
13．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知动点与一定点的距离和它到一定直线的距离之比为.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知直线交轨迹于、两点，过点、分别作直线的垂线，垂足依次为点、.连接、，试探索当变化时，直线、是否相交于一定点？若交于定点，请求出点的坐标，并给予证明；否则说明理由.
【答案】(Ⅰ)由题意得，化简并整理，得 .
所以动点的轨迹的方程为椭圆. ………3分
（Ⅱ）当时，、，、
直线的方程为：，直线的方程为：，
方程联立解得，直线、相交于一点.
假设直线、相交于一定点. ………5分
证明：设，，则，，
由消去并整理得，显然，
由韦达定理得，. ………7分
因为，，
所以
………11分
所以，，所以、、三点共线， ………12分
同理可证、、三点共线，所以直线、相交于一定点.14分
14．（2013届北京西城区一模理科）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为． ……1分
设 ，
则 ． ………………2分
将 代入 ，
解得 ． ………………3分
所以椭圆的离心率为 ． …………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为． ……5分
设，．依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入，整理得 ．……………7分
则 ，，．8分
因为 ，所以 ，． ………9分
因为 △∽△，
所以 …11分
．……13分
所以的取值范围是． …………14分
15．（2013届东城区一模理科）已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．
【答案】解：（I）由题意知，，所以．
因为
所以，
所以．
所以椭圆的方程为．
（II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.
又，两点在椭圆上，
所以，．
所以点到直线的距离．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由消去得
．
由已知．
设，．
所以，．
因为，
所以．
所以．
即．
所以．
整理得，满足．
所以点到直线的距离
为定值．
16．（2013届房山区一模理科数学）已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.
【答案】（Ⅰ）由焦点坐标为 可知
所以
所以抛物线的方程为…………………………………4分
（Ⅱ）
当直线垂直于轴时，与相似，
所以 …………………………………….…6分
当直线与轴不垂直时，设直线AB方程为………………………7分
设，，，，
解 整理得 ，
所以 ……… ……………………………….9分
…………………….14分
综上
17．（2013届门头沟区一模理科）在平面直角坐标系中， 动点到直线的距离是到点的距离的倍．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中曲线交于点，与交于点，分别过点和作的垂线，垂足为，问：是否存在点使得的面积是面积的9倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）解：设点的坐标为．
由题意知 ……………………………3分
化简得
所以动点的轨迹方程为 ……………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为，点
因为∽，所以有，由已知得，
所以有（1） ……………………………7分
由，得，
（2），（3） ……………………………10分
由（1）（2）（3）得或
所以 存在点为 ……………………………13分
18．（2013届北京朝阳区一模理科）（19）（本小题满分14分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围.
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
依题意得解得，.
所以椭圆的方程为. ………………………………………………4分
（Ⅱ）显然点.
（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，，所以. …………………………………………6分
（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.
由得.
设,则.
直线，的方程分别为：，
令，则.
所以，. ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因为，所以，所以，即.
综上所述，的取值范围是. ……………………………………14分
19.（2013届北京石景山区一模理科）19．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）连接，因为，，所以，
即，故椭圆的离心率 ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得于是,，
的外接圆圆心为），半径．．．．．．．．．．．．4分
由已知圆心到直线的距离为，所以，解得
所求椭圆方程为. ．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知, 设直线的方程为：
消去得 ． ．．．．7分
因为过点，所以恒成立
设，
则，
中点 ．．．．．．．．．．．．．．．9分 当时，为长轴，中点为原点，则 ．．．．．．．．．．．．．．10分
当时中垂线方程．
令， ．．．．．．．．．12分
，， 可得
综上可知实数的取值范围是． ．．．．．．．．．．．．．．14分
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