第3讲 数学归纳法
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取 ( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
答案 B
2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )．
A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
解析 A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．
答案 D
3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 ( )．
A. B．－
C.－ D.＋
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，
左侧＝1－＋－＋…＋－＋－.
答案 C
4．对于不等式1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
证明 (1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋，
则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，
故当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．
8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3＋…＋bnan.
(1)若a1＋a2＋a3＋…＋a12＝64，求r的值；
(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．
(1)解 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r.
∵48＋4r＝64，∴r＝4.
(2)证明 用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.
①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．
②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，
T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.
B级 能力突破
(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上 ( )．
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
答案 D
2．(2013·广州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为 ( )．
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c
解析 ∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即
整理得
解得a＝，b＝c＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．
解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；
…；
一个整数n所拥有数对为(n－1)对．
设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60，
∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，
12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第60个数对为(5,7)．
答案 (5,7)
4．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值是________．
解析 f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝×＝＝，f(3)＝(1－a1)·(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝×＝，由此猜想，f(n)＝(n∈N*)．
答案 (n∈N*)
三、解答题(共25分)
5．(12分)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．
解 (1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想an＝2n＋1.
(2)Sn＝＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.
下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.
①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；
②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2＋2n成立．
6．(13分)(2012·安徽)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；
(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．
(1)证明 先证充分性，若c<0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c0，即xn<1－.
由②式和xn≥0还可得，对任意n≥1都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反复运用③式，得
－xn≤(1－)n－1(－x1)<(1－)n－1，
xn<1－和 －xn<(1－)n－1两式相加，知
2－1<(1－)n－1对任意n≥1成立．
根据指数函数y＝(1－)n的性质，得
2－1≤0，c≤，故00，即证xn<对任意n≥1成立．
下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．
由①②知，使得数列{xn}单调递增的c的范围是.
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