第2讲 排列与组合
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )．
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
答案 A
2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有 ( )．
A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
解析 可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A＝60(种)．
答案 B
3．如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝ ( )．
A．2n B．2n－1
C．2n－2 D．(n－1)2n－1
解析 (特例法)当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；
当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.故选B.
答案 B
4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( )．
A.42 B.30 C.20 D.12
解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A＝42)．
答案
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．
解析 每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．
答案 63
6．(2013·西安模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．
解析 a，b，c中不含0时，有A个；a，b，c中含有0时，有2A个．故共有A＋2A＝294个不同的二次函数．
答案 294
三、解答题(共25分)
7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女生当选；
(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．
解 (1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C＝120种选法．
(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C＝252种选法．
(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有C－C＝672种选法．
(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C－C·C－C＝596种选法．
(5)分三步进行；
第1步，选1男1女分别担任两个职务有C·C种选法．
第2步，选2男1女补足5人有C·C种选法．
第3步，为这3人安排工作有A方法．由分步乘法计数原理，共有CC·CC·A＝12 600种选法．
8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？
解 法一 第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法．故共有C·C·(4＋C·C)＝260种不同的涂色方法．
法二 共可分为三类：
第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；
第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；
第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法．由分类加法计数原理，共有CA＋CCCA＋CA＝260种不同的涂色方法．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有 ( )．
A．576种 B．720种
C．864种 D．1 152种
解析 由题意，先排1,3,5,7，有A种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A种排法，所以共有A×3×A＝864种排法．
答案 C
2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( )．
A．232 B．252 C．472 D．484
解析 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C×C×C＝64种，若2张同色，则有C×C×C×C＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C×C×C×C＝192种，乘余2张同色，则有C×C×C＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．
解析 出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法．因此，共有不同的出牌方法A＋A＋A＋CA＋A＋CA＝860(种)．
答案 860
4．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．
解析 对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．
答案 20
三、解答题(共25分)
5．(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C＝8 568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有CC＋C＝6 936(种)；
(4)方法一 (直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，
所以共有CC＋CC＋CC＋CC＝14 656(种)．
方法二 (间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝14 656(种)．
6．(13分)在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.
(1)求a4、a5，并写出an的表达式；
(2)令bn＝＋，证明：2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….
(1)解 由已知条件a4＝C＝10，a5＝C＝15，
则an＝C＝.
(2)证明 bn＝＋＝＋＝2＋2
∴b1＋b2＋…＋bn
＝2n＋2
＝2n＋2，
∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.
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