第3讲 二项式定理
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )．
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
解析 Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
答案 C
2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为 ( )．
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案 B
3．(2013·西安模拟)已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 ( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案 C
4．(2012·天津)在5的二项展开式中，x的系数为 ( )．
A．10 B．－10 C．40 D．－40
解析 因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·湖北)18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．
解析 Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.
答案 17
6．(2012·浙江)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析 f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.
答案 10
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
解 (1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
8．(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律：
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
解 (1)C＝C＋C.
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5，
由＝，得＝，
即3n－7r＋3＝0. ①
由＝，得＝，
即4n－9r－5＝0. ②
解①②联立方程组，得n＝62，r＝27，
即C∶C∶C＝3∶4∶5.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知00)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.
答案 B
2．(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )．
A．0 B．1 C．11 D．12
解析 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.
解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
答案 7
4．(2011·浙江)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析 由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.
6．(13分)已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423＝，
T5的系数为C324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
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