小题专项集训(十六) 计数原理
(时间：40分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．(2013·西安模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是
( )．
A．24 B．48 C．72 D．96
解析 A－2AAA－AAA＝48.
答案 B
2．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( )．
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
解析 分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共有C×C＋C×C＝70种．故选A.
答案 A
3．式子－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于 ( )．
A．(－1)n B．(－1)n－1
C．3n D．3n－1
解析 由二项式展开式的特点，知－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC＝(1－2)n－C＝(－1)n－1.
答案 B
4．(2013·洛阳模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有 ( )．
A．400种 B．460种
C．480种 D．496种
解析 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C.
答案 C
5．若(x＋3y)n展开式中所有项的系数和等于(7a＋b)10展开式的二项式系数之和，则n的值等于 ( )．
A．15 B．10 C．8 D．5
解析 令x＝y＝1，得(x＋3y)n展开式中所有项的系数和为4n，(7a＋b)10展开式中所有项的二项式系数之和为210，故4n＝210，即n＝5.
答案 D
6．(2013·汕头模拟)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有 ( )．
A．6种 B．8种 C．10种 D．16种
解析 如下图，甲第一次传给乙时有5种方法，同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法，故选C.
答案 C
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 ( )．
A．20种 B．30种 C．40种 D．60种
解析 分三类：甲在周一，共有A种排法；
甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法；
∴A＋A＋A＝20.
答案 A
8．从－3，－2，－1,1,2,3中任取三个不同的数作为双曲线ax2＋by2＝c的系数，则一共可以确定不同的双曲线的条数为 ( )．
A．72 B．36 C．24 D．120
解析 取出的三个数要能成为双曲线的系数，则a，b异号即可，先取a，b，则有CCA种取法，再取c，有C种取法，但a，b，c和－a，－b，－c表示同一双曲线，故所确定的不同的双曲线的条数为＝36.
答案 B
9．对于二项式n的展开式(n∈N*)四位同学作出四种判断：
①存在n∈N*展开式中有常数项
②对任意n∈N*展开式中没有常数项
③对任意n∈N*展开式中没有x的一次项
④存在n∈N*展开式中有x的一次项
上述判断中正确的是 ( )．
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．②与④
解析 Tr＋1＝Cxr－nx3r＝Cx4r－n，令4r－n＝0，n＝4r，(r＝0，1,2，…n)时存在常数项，∴存在，如r＝1，n＝4，故①正确．令4r－n＝1，n＝4r－1(r＝0,1,2…n)如：r＝1，n＝3，存在，故④正确．
答案 C
10．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋＋…＋的值为
( )．
A．2 B．0 C．－1 D．－2
解析 观察所求数列和的特点，令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0，再令x＝0可得a0＝1，因此＋＋…＋＝－1.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．从0、2、4中取一个数字，从1、3、5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则不同的三位数有________个．
解析 第一类：取0时，从1,3,5中取出1个放在百位，再取一个与0全排列共有CCA＝12个，第二类：不取0时共有CCA＝36个，∴共有12＋36＝48个．
答案 48
12．安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是________(用数字作答)．
解析 分两种情况：(1)不最后一个出场的歌手第一个出场，有A种排法；(2)不最后一个出场的歌手不第一个出场，有AAA种排法，故共有78种不同排法．
答案 78
13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
解析 由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表，共有A＝840(种)．
答案 840
14．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
解析 当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有AC＋CCC＝210＋126＝336(种)．
答案 336
15．(2013·粤西北九校联考)二项式6的展开式中的常数项为15，则实数a的值为________．
解析 Tr＋1＝C(2x)6－rr＝(－1)rC26－rarx6－3r，令6－3r＝0得r＝2，∴(－1)2C24a2＝15，∴16a2＝1，a＝±.
答案 ±
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