第十章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子,每个盒内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为 ( )
A.6 B.10
C.20 D.30
答案 B
解析 从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C=10种;另两个球的投放方法有1种,所以共有10种不同的投放方法.选择B.
2.(1+x)10(1+)10展开式中的常数项为 ( )
A.1 B.(C)2
C.C D.C
答案 D
解析 因为(1+x)10(1+)10=[(1+x)(1+)]10=(2+x+)10=(+)20(x>0),所以Tr+1=C()20-r()r=Cx10-r,由10-r=0,得r=10,故常数项为T11=C,选D.
3.如图,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 所取三数既不同行也不同列的概率为=,所求概率为1-=.
4.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为 ( )
A. B.
C.5 D.3
答案 A
解析 由已知2a-3,与a+2关于3对称,故(2a-3)+(a+2)=6,解得a=.
5.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≤1”发生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知,此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π,设A表示取出的x满足sinx+cosx≤1这样的事件,对条件变形为sin(x+)≤,即事件A包含的区域长度为.∴P(A)==.
6.一个坛子里有编号1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 分类:一类是两球号均为偶数且红球,有C种取法;另一类是两球号码是一奇一偶有CC种取法,
因此所求的概率为=.
7.已知实数x∈[0,8],执行如下图所示的程序框图,则输出的x不小于55的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 程序框图经过3次运行后,得到
2[2(2x+1)+1]+1,即2[2(2x+1)+1]+1≥55.
所以x≥6,所以P==.
8.体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是 ( )
A.(0,) B.(,1)
C.(0,) D.(,1)
答案 C
解析 发球次数X的分布列如下表,
X
1
2
3
P
p
(1-p)p
(1-p)2
所以期望E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,
解得p>(舍去)或p<,又p>0,故选C.
9.连掷两次骰子分别得到点数m、n,向量a=(m,n),b=(-1,1)若在△ABC中, 与a同向, 与b反向,则∠ABC是钝角的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 要使∠ABC是钝角,必须满足·<0,即a·b=n-m>0,连掷两次骰子所得点数m、n共有36种情形,其中15种满足条件,故所求概率是.
10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数其中A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.记ξ=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,ξ的数学期望E(ξ)= ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ξ=1时,P1=C()4()0=,
ξ=2时,P2=C()3·=,
ξ=3时,P3=C·()2·()2=,
ξ=4时,P4=C()·()3=,
ξ=5时,P5=C()4=,
E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×=.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
11.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________.
答案
解析 将一个骰子连抛三次,共有n=63种不同情形.其中,落地时向上的点数依次成等差数列的有:①公差d=±1的有4×2=8(种);②公差为±2的有2×2=4(种);③公差d=0的有6种,共有m=8+4+6=18(种),故所求概率为P===.
12.
用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一次不小于90分的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.
答案
解析 由题意,得基本事件总数为10,满足要求的有8个,所以所求概率为=.
13.(2012·广东)(x2+)6的展开式中x3的系数为______.(用数字作答)
答案 20
解析 由(x2+)6的展开式的通项为Tr+1=C(x2)6-r()r=Cx12-3r.令12-3r=3,得r=3,所以展开式中x3的系数为C==20.
14.(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).
答案
解析 根据条件求出基本事件的个数,再利用古典概型的概率计算公式求解.因为每人都从三个项目中选择两个,有(C)3种选法,其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个,故所求概率为=.
15.袋中有3个黑球,1个红球.从中任取2个,取到一个黑球得0分,取到一个红球得2分,则所得分数ξ的数学期望E(ξ)=________.
答案 1
解析 由题得ξ所取得的值为0或2,其中ξ=0表示取得的球为两个黑球,ξ=2表示取得的球为一黑一红,所以P(ξ=0)==,P(ξ=2)==,故E(ξ)=0×+2×=1.
16.为落实素质教育,衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k,则二项式(1+kx2)6的展开式中,x4的系数为________.
答案 54 000
解析 用直接法:k=CC+CC+CC=15+30+15=60,x4的系数为Ck2=15×3 600=54 000.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)为备战2013年天津东亚运动会,射击队努力拼博,科学备战.现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下:
环数
10环
9环
8环
7环
6环
5环以下(含5环)
频数
20
35
25
13
5
2
试根据以上统计数据估算:
(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率;
(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率.
解析 以该选手射击的频率近似估算概率.
(1)射击一次击中8环以上的概率约为
P==0.8.
(2)记一次射击命中10环为事件p1,则p1=0.2,
一次射击命中9环为事件p2,则p2=0.35,
于是两次射击均命中10环的概率约为P(A)=(p1)2=0.04.
两次射击一次命中10环,一次命中9环的概率约为
P(B)=Cp1p2=0.14,
即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.
18.(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.
(1)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E(ξ);
(2)求乙至多击中目标2次的概率;
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
解析 (1)P(ξ=0)=C()3=;P(ξ=1)=C()3=;P(ξ=2)=C()3=;P(ξ=3)=C()3=.
ξ的概率分布如下表
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.5.
(2)乙至多击中目标2次的概率为1-C()3=.
(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A,“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B1,“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B2,则A=B1+B2,B1,B2为互斥事件.
P(A)=P(B1)+P(B2)=×+×=.
所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
19.(本小题满分12分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时,将正品错误地鉴定为赝品的概率为,将赝品错误地鉴定为正品的概率为.已知一批物品共有4件,其中正品3件、赝品1件.
(1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件的概率;
(2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数X的分布列及数学期望.
解析 (1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件:其一是错误地把一件正品鉴定为赝品,其他鉴定正确;其二是错误地把两件正品鉴定为赝品,把一件赝品鉴定为正品,其他鉴定正确.
则所求的概率为C××()2×+C×()2××=.
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)=()3×=;
P(X=1)=C×()2××+()3×=;
P(X=2)=;
P(X=3)=()3×+C×()2××=;
P(X=4)=()3×=.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
20.(本小题满分12分)已知A1,A2,A3,…,A6共6所高校举行自主招生考试,某同学参加这6所高校的考试获得通过的概率均为.
(1)若这6所高校的考试该同学都参加,试求该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率;
(2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为200元,该同学决定按A1,A2,A3,…,A6的顺序参加考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,试求该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列及数学期望.
解析 (1)因为该同学通过各校考试的概率均为,所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P=C()2(1-)4=.
(2)设该同学共参加了i次考试的概率为Pi(1≤i≤6,i∈Z),则Pi=
所以该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列为
ξ
200
400
600
800
1 000
1 200
P
E(ξ)=(×1+×2+×3+×4+×5+×6)×200=×200=.
21.(本小题满分12分)李先生家在H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),路线L1上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线L2上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.
(1)若走路线L1,求最多遇到1次红灯的概率;
(2)若走路线L2,求遇到红灯次数X的数学期望;
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求,请你帮助李先生分析上述两条路线中,选择哪条路线上班更好些,并说明理由.
解析 (1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C×()3+C××()2=.
所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为.
(2)依题意,X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=(1-)×(1-)=,
P(X=1)=×(1-)+(1-)×=,
P(X=2)=×=.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)=×0+×1+×2=.
(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y,随机变量Y服从二项分布,即Y~B(3,),
所以E(Y)=3×=.
因为E(X)
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