(对应学生用书P239 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．已知ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p＝ ( )
A. B.
C. D.
解析 A 由题意np＝7，np(1－p)＝6，解得p＝.
2．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析 A 根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.
5．已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是 ( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
解析 B ∵E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝E(8－ξ)＝8－E(ξ)＝8－6＝2，D(η)＝D(8－ξ)＝(－1)2D(ξ)＝D(ξ)＝2.4.
6．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金 ( )
A．(1－p)a B．(1＋p)a
C．(0.1＋p)a D．(0.1＋2p)a
解析 C 设公司要求顾客交保险金x元，ξ为保险公司收益．由题意得
ξ
x－a
x
P
p
1－p
∴E(ξ)＝(x－a)p＋x(1－p)＝0.1a，∴x＝(0.1＋p)a.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
解析 ∵X～B，∴D(X)＝3××＝.
【答案】
8．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(－1＜ξ<0)＝0.341 3，则P(ξ＜1)＝________.
解析 P(－1＜ξ＜0)＝P(0＜ξ＜1)＝P(ξ＜1)－P(ξ＜0)＝P(ξ＜1)－0.5，即P(ξ＜1)－0.5＝0.341 3，∴P(ξ＜1)＝0.841 3.
【答案】 0.841 3
9．“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，按照规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，如果在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元．
解析 设公司每月对这辆车的收入为X元，则其分布列为：
X
－100
2 500
P
0.2
0.8
故E(X)＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980元．
【答案】 1 980
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)(2011·广东高考)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．
解析 (1)乙厂生产的产品总数为5÷＝35.
(2)样品中优等品的频率为，估计乙厂生产的优等品的数量约为35×＝14.
(3)ξ的所有可能取值有0,1,2，P(ξ＝i)＝(i＝0,1,2)，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
ξ的均值为Eξ＝1×＋2×＝.
11．(12分)某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．
(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ.
解析 方法一：(1)设“世博会会徽”卡有n张，
由＝，得n＝4, 故“海宝”卡有6张，
抽奖者获奖的概率为＝.
(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4，则
P(ξ＝0)＝4＝，
P(ξ＝1)＝C××3＝，
P(ξ＝2)＝C×2×2＝＝，
P(ξ＝3)＝C×3×＝，
P(ξ＝4)＝4＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二：(1)设“海宝”卡有n张，由＝，得
n2－19n＋78＝0，n＝6或n＝13(舍去)．
故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)∵ξ～B，
∴P(ξ＝k)＝C×k×4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
E(ξ)＝np＝4×＝.
12．(16分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为
你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望与方差．
解析 (1)ξ可能的取值为1,3,4,6.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝×＝，
P(ξ＝4)＝×＝，
P(ξ＝6)＝A××1＝.
所以ξ的分布列为
ξ
1
3
4
6
P
(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.
D(ξ)＝2＋×2＋2＋2＝.
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