第十章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 ( )
A．6 B．10
C．20 D．30
答案 B
解析 从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.
2．(1＋x)10(1＋)10展开式中的常数项为 ( )
A．1 B．(C)2
C．C D．C
答案 D
解析 因为(1＋x)10(1＋)10＝[(1＋x)(1＋)]10＝(2＋x＋)10＝(＋)20(x>0)，所以Tr＋1＝C()20－r()r＝Cx10－r，由10－r＝0，得r＝10，故常数项为T11＝C，选D.
3.如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 所取三数既不同行也不同列的概率为＝，所求概率为1－＝.
4．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为 ( )
A. B.
C．5 D．3
答案 A
解析 由已知2a－3，与a＋2关于3对称，故(2a－3)＋(a＋2)＝6，解得a＝.
5．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx＋cosx≤1”发生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A表示取出的x满足sinx＋cosx≤1这样的事件，对条件变形为sin(x＋)≤，即事件A包含的区域长度为.∴P(A)＝＝.
6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有CC种取法，
因此所求的概率为＝.
7．已知实数x∈[0,8]，执行如下图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 程序框图经过3次运行后，得到
2[2(2x＋1)＋1]＋1，即2[2(2x＋1)＋1]＋1≥55.
所以x≥6，所以P＝＝.
8．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是 ( )
A．(0，) B．(，1)
C．(0，) D．(，1)
答案 C
解析 发球次数X的分布列如下表，
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2
所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，
解得p>(舍去)或p<，又p>0，故选C.
9．连掷两次骰子分别得到点数m、n，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)若在△ABC中， 与a同向， 与b反向，则∠ABC是钝角的概率是 ( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 要使∠ABC是钝角，必须满足·＜0，即a·b＝n－m＞0，连掷两次骰子所得点数m、n共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是.
10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝ ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ξ＝1时，P1＝C()4()0＝，
ξ＝2时，P2＝C()3·＝，
ξ＝3时，P3＝C·()2·()2＝，
ξ＝4时，P4＝C()·()3＝，
ξ＝5时，P5＝C()4＝，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________．
答案
解析 将一个骰子连抛三次，共有n＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d＝0的有6种，共有m＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P＝＝＝.
12.
用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
答案
解析 由题意，得基本事件总数为10，满足要求的有8个，所以所求概率为＝.
13．(2012·广东)(x2＋)6的展开式中x3的系数为______．(用数字作答)
答案 20
解析 由(x2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r()r＝Cx12－3r.令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝＝20.
14．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
答案
解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个，故所求概率为＝.
15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
答案 1
解析 由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，故E(ξ)＝0×＋2×＝1.
16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是k，则二项式(1＋kx2)6的展开式中，x4的系数为________．
答案 54 000
解析 用直接法：k＝CC＋CC＋CC＝15＋30＋15＝60，x4的系数为Ck2＝15×3 600＝54 000.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)为备战2013年天津东亚运动会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：
环数
10环
9环
8环
7环
6环
5环以下(含5环)
频数
20
35
25
13
5
2
试根据以上统计数据估算：
(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；
(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．
解析 以该选手射击的频率近似估算概率．
(1)射击一次击中8环以上的概率约为
P＝＝0.8.
(2)记一次射击命中10环为事件p1，则p1＝0.2，
一次射击命中9环为事件p2，则p2＝0.35，
于是两次射击均命中10环的概率约为P(A)＝(p1)2＝0.04.
两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为
P(B)＝Cp1p2＝0.14，
即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.
18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.
(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E(ξ)；
(2)求乙至多击中目标2次的概率；
(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
解析 (1)P(ξ＝0)＝C()3＝；P(ξ＝1)＝C()3＝；P(ξ＝2)＝C()3＝；P(ξ＝3)＝C()3＝.
ξ的概率分布如下表
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.
(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C()3＝.
(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝×＋×＝.
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
19．(本小题满分12分)某位收藏爱好者鉴定一件物品时，将正品错误地鉴定为赝品的概率为，将赝品错误地鉴定为正品的概率为.已知一批物品共有4件，其中正品3件、赝品1件．
(1)求该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件的概率；
(2)求该收藏爱好者的鉴定结果中正品数X的分布列及数学期望．
解析 (1)有两种可能使得该收藏爱好者的鉴定结果为正品2件、赝品2件：其一是错误地把一件正品鉴定为赝品，其他鉴定正确；其二是错误地把两件正品鉴定为赝品，把一件赝品鉴定为正品，其他鉴定正确．
则所求的概率为C××()2×＋C×()2××＝.
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝()3×＝；
P(X＝1)＝C×()2××＋()3×＝；
P(X＝2)＝；
P(X＝3)＝()3×＋C×()2××＝；
P(X＝4)＝()3×＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
20．(本小题满分12分)已知A1，A2，A3，…，A6共6所高校举行自主招生考试，某同学参加这6所高校的考试获得通过的概率均为.
(1)若这6所高校的考试该同学都参加，试求该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率；
(2)假设该同学参加每所高校考试所需的报名费用均为200元，该同学决定按A1，A2，A3，…，A6的顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，试求该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列及数学期望．
解析 (1)因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为P＝C()2(1－)4＝.
(2)设该同学共参加了i次考试的概率为Pi(1≤i≤6，i∈Z)，则Pi＝
所以该同学参加考试所需报名费用ξ的分布列为
ξ
200
400
600
800
1 000
1 200
P
E(ξ)＝(×1＋×2＋×3＋×4＋×5＋×6)×200＝×200＝.
21．(本小题满分12分)李先生家在H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线(如图)，路线L1上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线L2上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
(1)若走路线L1，求最多遇到1次红灯的概率；
(2)若走路线L2，求遇到红灯次数X的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．
解析 (1)设“走路线L1最多遇到1次红灯”为事件A，则P(A)＝C×()3＋C××()2＝.
所以走路线L1最多遇到1次红灯的概率为.
(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，
P(X＝2)＝×＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝×0＋×1＋×2＝.
(3)设选择路线L1遇到红灯的次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B(3，)，
所以E(Y)＝3×＝.
因为E(X)
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