第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.(2013·兰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 ( )．
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝sin D．y＝sin
解析 由所给图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，所以ω＝＝2，由sin＝1，|φ|<得＋φ＝，解得φ＝，所以f(x)＝sin，则f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，故选D.
答案 D
2．(2013·宝鸡模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位，得到函数y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)的图象，由题意得2φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ的最小值为.
答案 C
3．(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )．
解析 把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.
答案 A
4．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则下列结论中正确的是 ( )．
A．函数y＝f(x)·g(x)的周期为2
B．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
D．将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
解析 ∵f(x)＝sin＝cos x，
g(x)＝cos＝cos＝sin x，
∴y＝f(x)·g(x)＝cos x·sin x＝sin 2x.
T＝＝π，最大值为，∴选项A，B错误．
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，0<φ<的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
解析 因为＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2.将代入解析式可得：π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝.
答案 2
6．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析 ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范围是.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·陕西)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解 (1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，
∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)f＝2sin＋1＝2，即sin＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，故α＝.
8．(13分)(2012·山东)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(Acos x，cos 2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解 (1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A＝A sin.
因为A＞0，由题意知A＝6.
(2)由(1)知f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到
y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2012·潍坊期末)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为 ( )．
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，故选C.
答案 C
2．(2012·东莞二模)若函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，则a＋ω的一个可能的取值是 ( )．
A．0 B．3 C．6 D．9
解析 因为函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)＝·sin(ωx＋φ)的图象关于点M对称，且在x＝处函数有最小值，所以必有k，n∈Z，两式相减得：＝(k－2n)π＋，即ω＝6(k－2n)＋3＝6m＋3，k，n，m∈Z，结合四个选项，ω可能取到的值是3或9.将ω＝6m＋3，k，n，m∈Z代入f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0)，得y＝sin(6m＋3)x＋acos(6m＋3)x.当图象关于点M对称时，有sin＋acos＝0，即a＝0.所以函数解析式应为f(x)＝sin ωx(ω>0)．
回验a＋ω＝3时的函数性质与题设中在x＝处函数有最小值不符，故只有a＋ω＝9，故选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·东北四校一模)已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若是f(x)的一个单调递增区间，则φ的值为________．
解析 令＋2kπ≤2x＋φ≤＋2kπ，k∈Z，k＝0时，有－≤x≤－，此时函数单调递增，若是f(x)的一个单调递增区间，则必有
解得故φ＝.
答案
4．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数．
其中正确结论的编号为________．
解析 ∵y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
∴ω＝＝2，又其图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋，k∈Z.
由φ∈，得φ＝，∴y＝sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．
∴y＝sin关于点对称．故②正确．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝sin的单调递增区间为
(k∈Z)．
∵(k∈Z)．∴④正确．
答案 ②④
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知函数f(x)＝
2sin＋cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin＋sin x
＝cos x＋sin x＝2
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，
∴g(x)＝f＝2sin[＋]
＝2sin.
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴当x＋＝，即x＝时，sin＝1，g(x)取得最大值2.
当x＋＝，即x＝π时，sin＝－，g(x)取得最小值－1.
6．(13分)(2012·安徽)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
解 (1)f(x)＝cos＋sin2x
＝＋
＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
①当x∈时，x＋∈.
由于对任意x∈R，g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin(π＋2x)＝－sin 2x.
②当x∈时，x＋π∈.
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin 2x.
综合①、②得g(x)在[－π，0]上的解析式为
g(x)＝
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