第6讲 正弦定理和余弦定理  A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝ (　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　由a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，得a2＝bc＋b2，＝2.由余弦定理，得cos A＝＝＝－＝－＝，所以A＝30°，故选A. 答案　A 2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝(　　)． A. B. C. D. 解析　依题意得知，CD＝1，CE＝＝，DE＝＝，cos∠CED＝＝，所以sin∠CED＝＝，选B. 答案　B 3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝ (　　)． A. B. C. D．2 解析　∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又a＝1，b＝，∴＝， ∴sin A＝＝×＝， ∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝. 答案　C 4．(2012·湖南)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　设AB＝c，BC边上的高为h. 由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即7＝c2＋4－4ccos 60°，即 c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)． 又h＝c·sin 60°＝3×＝，故选B. 答案　B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝ac，则角B的值为________． 解析　由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得 cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或. 答案　或 6．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________． 解析　依题意得，△ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－. 答案　－ 三、解答题(共25分) 7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列． (1)求cos B的值； (2)边a，b，c成等比数列，求sin Asin C的值． 解　(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝. (2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin Asin C， 即sin Asin C＝sin2B＝1－cos2B＝. 8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝ ，求△ABC的面积． 解　(1)因为0＜A＜π，cos A＝， 得sin A＝ ＝. 又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝cos C＋sin C. 所以tan C＝. (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝. 由a＝ 及正弦定理＝，得c＝ . 设△ABC的面积为S，则S＝acsin B＝. B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为 (　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4. 答案　C 2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于 (　　)． A．3＋ B．3 C．2＋ D. 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin ＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A. 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________． 解析　x＝＝＝sin A＋cos A＝sin.又A∈，∴c2，则C< ②若a＋b>2c，则C< ③若a3＋b3＝c3，则C< ④若(a＋b)c<2ab，则C> ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C> 解析　①由ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知cos C＝>＝，因为C∈(0，π)，函数y＝cos x在(0，π)上是减函数，所以C<，即①正确．②由余弦定理可知cos C＝>＝＝≥＝，所以C<，即②正确．③若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即2＋2≤1，而，∈(0,1)，而函数y＝ax(0c2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a2＋b2)c2<2a2b2，所以c2<≤＝ab，即ab>c2，转化为命题①，故⑤错误． 答案　①②③ 三、解答题(共25分) 5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C上． (1)求角C的值； (2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积． 解　(1)由题意得a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C， 由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2， 即a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理，得cos C＝＝， 结合0
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