第四章 第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，
则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B.
C. D.
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)且a·b＝10，则|a－b|＝( )
A．－ 10 B．10
C．－ D.
4．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
5．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p1：|a＋b|>1?θ∈[0，) p2：|a＋b|>1?θ∈(，π]
p3：|a－b|>1?θ∈[0，) p4：|a－b|>1?θ∈(，π]
其中的真命题是( )
A．p1，p4 B．p1，p3
C．p2，p3 D．p2，p4
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为( )
A．(0，) B．(，π]
C．(，π] D．(，]
二、填空题
7．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
8．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
9．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为____．
三、解答题
10．已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
11．设a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)．
(1)求证：(a－b)⊥(a－c)；
(2)求|a|的最大值，并求此时x的值．
12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若·＝·＝k(k∈R)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若k＝2，求b的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
2．解析：2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故夹角为.
答案：C
3．解析：因为a·b＝10，所以x＋8＝10，x＝2，所以a－b＝(－1，－2)，故|a－b|＝.
答案：D
4．解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0，及 (a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，
所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)≤1，
故|a＋b－c|≤1.
答案：B
5．解析：由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，
|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈[0，)．当θ∈[0，)时，a·b>－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a2－2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，
∴a·b<.故θ∈(，π]，反之也成立．
答案：A
6．解析：f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，即f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数解，
故Δ＝|a|2－4a·b＞0?cos〈a，b〉＜，又〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉∈(，π]．
答案：C
二、填空题
7．解析：由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6
答案：－6
8．解析：∵a＋b与ka－b垂直，
∴(a＋b)·(ka－b)＝0，
化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.
答案：1
9．解析：由|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°.
答案：
三、解答题
10．解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得
，∴或，
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0.
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0.
∴2×5＋3a·b－2×＝0，∴a·b＝－.
∴cos θ＝＝＝－1.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
11．解：(1)证明：a－b＝(cos x,1＋sin x)，
a－c＝(cos x，sin x－1)，
(a－b)·(a－c)＝(cos x,1＋sin x)·(cos x，sin x－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0.
∴(a－b)⊥(a－c)．
(2)|a|＝
＝
＝ ≤ ＝＋1.
当sin(x＋)＝1，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值＋1.
12．解：(1)∵·＝cbcos A，·＝bacos C，
∴bccos A＝abcos C，
根据正弦定理，得sin Ccos A＝sin Acos C，
即sin Acos C－cos Asin C＝0，sin(A－C)＝0，
∴∠A＝∠C，即a＝c.
则△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝c，由余弦定理，得
·＝bccos A＝bc·＝.
·＝k＝2，即＝2，解得b＝2.
版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)
【点此下载】