第四章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1. 集合M＝{x|x＝sin，n∈Z}，N＝{x|x＝cos，n∈N}，则M∩N等于( )
A．{－1,0,1} B．{0,1}
C．{0} D．?
答案 C
解析 ∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{－，0，}，
N＝{－1,0,1}，
∴M∩N＝{0}．应选C.
2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于 ( )
A. B．7
C．－ D．－7
答案 A
解析 ∵α∈(，π)，∴tanα＝－.
∴tan(α＋)＝＝.
3. 已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是 ( )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案 B
解析 f(x)＝－cosπx－1，周期为2，且为偶函数，故选B.
4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图像向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为 ( )
A．1， B．1，－
C．2， D．2，－
答案 D
解析 由题知，×＝－，∴ω＝2，∵函数的图像过点(，0)，∴2(＋)＋φ＝π.
∴φ＝－.故选D.
5．函数y＝2sin(x－)＋cos(x＋)的一条对称轴为 ( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
答案 C
解析 y＝2sin(x－)＋cos(x＋)
＝2sin(x－)＋sin[－(x＋)]
＝2sin(x－)＋sin(－x)＝sin(x－)．
方法一 把选项代入验证．
方法二 由x－＝kπ＋，得x＝kπ＋π(k∈Z)．
当k＝－1时，x＝－.
6．如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面为2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是 ( )
A．h＝8cost＋10 B．h＝－8cost＋10
C．h＝－8sint＋10 D．h＝－8cost＋10
答案 D
解析 排除法，由T＝12，排除B，当t＝0时，h＝2，排除A、C.故选D.
7．设a>0，对于函数f(x)＝(00，所以y＝1＋，t∈(0,1]是一个减函数．故选B.
8．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为 ( )
A. min B. h
C．21.5 min D．2.15 h
答案 A
解析 如右图：设t小时甲行驶到D处AD＝10－4t，
乙行驶到C处AC＝6t，∵∠BAC＝120°，
DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°
＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.
当t＝ h时DC2最小，DC最小，此时t＝×60＝ min.
9．在△ABC中，已知sinC＝2sin(B＋C)cosB，那么△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 C＝π－(A＋B)，B＋C＝π－A.
有sin(A＋B)＝2sinAcosB，sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB.
即sinAcosB－cosAsinB＝0，sin(A－B)＝0，则A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．故选B.
10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是 ( )
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ](k∈Z)
答案 C
解析 因为当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，所以f()＝sin(＋φ)＝±1，可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.因为f()＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2kπ－，所以f(x)＝sin(2x－)，函数的单调递增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，所以x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选C.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝________.
答案 －
解析 由角θ的终边在直线y＝2x上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.
12．函数f(x)＝sin4x＋cos2x的最小正周期为________．
答案
解析 法一：f(x)＝(1－cos2x)2＋cos2x＝1＋cos4x－cos2x＝1＋cos2x(cos2x－1)＝1－cos2x·sin2x＝1－sin22x＝1－()＝＋cos4x.
法二：f(x)＝(sin2x)2＋cos2x
＝()2＋
＝＋cos22x＝＋cos4x.
13．已知等腰△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b＋a，c－a)，若p∥q，则角A的大小为________．
答案 30°
解析 由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b＋a)，即－ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理，得cosC＝＝＝－.因为0°
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