第四章 单元测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)
1. 集合M={x|x=sin,n∈Z},N={x|x=cos,n∈N},则M∩N等于( )
A.{-1,0,1} B.{0,1}
C.{0} D.?
答案 C
解析 ∵M={x|x=sin,n∈Z}={-,0,},
N={-1,0,1},
∴M∩N={0}.应选C.
2.已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于 ( )
A. B.7
C.- D.-7
答案 A
解析 ∵α∈(,π),∴tanα=-.
∴tan(α+)==.
3. 已知函数f(x)=sin(πx-)-1,则下列命题正确的是 ( )
A.f(x)是周期为1的奇函数
B.f(x)是周期为2的偶函数
C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
答案 B
解析 f(x)=-cosπx-1,周期为2,且为偶函数,故选B.
4.把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图像向左平移个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为 ( )
A.1, B.1,-
C.2, D.2,-
答案 D
解析 由题知,×=-,∴ω=2,∵函数的图像过点(,0),∴2(+)+φ=π.
∴φ=-.故选D.
5.函数y=2sin(x-)+cos(x+)的一条对称轴为 ( )
A.x= B.x=
C.x=- D.x=-
答案 C
解析 y=2sin(x-)+cos(x+)
=2sin(x-)+sin[-(x+)]
=2sin(x-)+sin(-x)=sin(x-).
方法一 把选项代入验证.
方法二 由x-=kπ+,得x=kπ+π(k∈Z).
当k=-1时,x=-.
6.如图,一个大风车的半径为8 m,每12 min旋转一周,最低点离地面为2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是 ( )
A.h=8cost+10 B.h=-8cost+10
C.h=-8sint+10 D.h=-8cost+10
答案 D
解析 排除法,由T=12,排除B,当t=0时,h=2,排除A、C.故选D.
7.设a>0,对于函数f(x)=(00,所以y=1+,t∈(0,1]是一个减函数.故选B.
8.甲船在岛A的正南B处,以4 km/h的速度向正北航行,AB=10 km,同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 ( )
A. min B. h
C.21.5 min D.2.15 h
答案 A
解析 如右图:设t小时甲行驶到D处AD=10-4t,
乙行驶到C处AC=6t,∵∠BAC=120°,
DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos120°
=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos120°=28t2-20t+100.
当t= h时DC2最小,DC最小,此时t=×60= min.
9.在△ABC中,已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
答案 B
解析 C=π-(A+B),B+C=π-A.
有sin(A+B)=2sinAcosB,sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB.
即sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,则A=B.
∴△ABC为等腰三角形.故选B.
10.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是 ( )
A.[kπ-,kπ+](k∈Z)
B.[kπ,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z)
D.[kπ-,kπ](k∈Z)
答案 C
解析 因为当x∈R时,f(x)≤|f()|恒成立,所以f()=sin(+φ)=±1,可得φ=2kπ+或φ=2kπ-.因为f()=sin(π+φ)=-sin φ>f(π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2kπ-,所以f(x)=sin(2x-),函数的单调递增区间为-+2kπ≤2x-≤+2kπ,所以x∈[kπ+,kπ+](k∈Z),故选C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=________.
答案 -
解析 由角θ的终边在直线y=2x上可得tan θ=2,cos 2θ=cos2θ-sin2θ===-.
12.函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期为________.
答案
解析 法一:f(x)=(1-cos2x)2+cos2x=1+cos4x-cos2x=1+cos2x(cos2x-1)=1-cos2x·sin2x=1-sin22x=1-()=+cos4x.
法二:f(x)=(sin2x)2+cos2x
=()2+
=+cos22x=+cos4x.
13.已知等腰△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b+a,c-a),若p∥q,则角A的大小为________.
答案 30°
解析 由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b+a),即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理,得cosC===-.因为0°
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