(对应学生用书P325 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．设非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与a＋b的夹角为 ( )
A．30° B.60°
C．90° D.120°
解析 B 由三角形法则可知，a，b，a＋b可构成正三角形，故夹角为60°.
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝ ( )
A．(－15,12) B.0
C．－3 D.－11
解析 C (a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.
3．(2013·绵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x的值为 ( )
A．－7 B.9
C．4 D.－4
解析 B 因为a－b＝(1－x,4)，
所以a·(a－b)＝1－x＋8＝0，解得x＝9.
4．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝ ( )
A．－3 B.－1
C．1 D.3
解析 D ∵a＋b＝(3,1＋n)，
∴|a＋b|＝.
又∵a·b＝1×2＋1×n＝2＋n，
∴＝2＋n，解得n＝3.
5．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则角A的大小为 ( )
A. B.
C. D.
解析 B ∵m⊥n，∴m·n＝0，
即(b－c)b＋(c－a)(c＋a)＝0，b2－bc＋c2－a2＝0，
∴cos A＝＝＝，∴A＝.
6．△ABC内有一点O，满足＋＋＝0，且·＝·，则△ABC一定是 ( )
A．钝角三角形 B.直角三角形
C．等边三角形 D.等腰三角形
解析 D ∵＋＋＝0，∴O为重心，
∵·＝·，∴·＝0，即OB⊥AC，
∴BA＝BC，故△ABC是等腰三角形．
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b＋b·b的值为________．
解析 a·b＋b·b＝|a||b|cos 60°＋|b|2
＝1×2×＋4＝5.
【答案】 5
8．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.
【答案】
9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值为________．
解析 如图所示，设AO＝x，
OM＝2－x，所以·(＋)
＝·2＝－2x(2－x)
＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，
故当x＝1时，·(＋)取最小值－2.
【答案】 －2
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)(2013·杭州模拟)已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m、n的值．
解析 由于A、B、C三点在同一条直线上，
则∥，而＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2，1－m)，
∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，
即mn＋n－5m＋9＝0， ①
又∵⊥，∴－2n＋m＝0. ②
联立①②，解得或
11．(12分)已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解析 (1)设c＝(x，y)，由c∥a和|c|＝2可得
∴或
∴c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0.
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0,2×5＋3a·b－2×＝0，
∴a·b＝－，∴cos θ＝＝＝－1，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
12．(16分)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．
解析 由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，
则a·b＝|a||b|cos 45°＝×1×＝1，
而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2
＝λ2＋λ－6.
设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，
则cos θ＝>0，且cos θ≠1，
∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，得λ2＋λ－6>0，
∴λ>2或λ<－3.
假设cos θ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，
∴解得k2＝－，k不存在．
故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0的λ不存在．
∴当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．
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