(对应学生用书P323 解析为教师用书独有)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)
1．(2013·武汉质检)已知P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在 ( )
A．△ABC的内部 B.AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D.BC边所在直线上
解析 B 由题意知：－＝λ，
即＋＝λ，
∴＝λ，即与共线，
∴点P在AC边所在直线上．
2．△ABC的三个内角成等差数列，且(＋)·＝0，则△ABC一定是
( )
A．等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形
C．等边三角形 D.钝角三角形
解析 C 在△ABC中，BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又△ABC的三个内角成等差数列，所以等腰△ABC的一角为，所以△ABC一定为等边三角形．
3．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 ( )
A．10 m/s B.2 m/s
C．4 m/s D.12 m/s
解析 B 如图所示，小船在静水中的速度为＝2 m/s.
4．(2013·济南模拟)已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是 ( )
A．圆 B.椭圆
C．双曲线 D.抛物线
解析 D ＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)
＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.
即y2＝x＋6.
5．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2＋＋＝0(其中O为坐标原点)，又||＝||，则向量在向量方向上的投影为 ( )
A．1 B.－1
C. D.－
解析 C 由2＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0得，＝－，即O，B，C三点共线．
又||＝||＝1，故向量在向量方向上的投影为||cos＝.
6．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·等于
( )
A.a2 B.－a2 C.a2 D.－a2
解析 B ∵||＝a，||＝a，〈，〉＝，
∴·＝||·||·cos
＝a×a×＝－a2.
二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
7．已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，则a·b的最大值为________．
解析 a·b＝sin θ＋cos θ＝2sin≤2.
【答案】 2
8．若||＝2，||＝3，|＋|＝，则∠CAB＝________.
解析 |＋|2＝2＋2·＋2＝4＋2·＋9＝19，∴·＝3，cos ∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝60°.
【答案】 60°
9．(2013·南京模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．
解析 ∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|·cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|.又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.
【答案】
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
解析 方法一：·
＝·
＝－||2＋·＋·＋·
＝－||2＋||||cos 90°＋||2cos 45°＋||2cos 45°
＝－||2＋||2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
方法二：建立如图所示的直角坐标系，
设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．
∵D是BC的中点，∴D.
又∵＝2，
即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，
∴解得
∵＝－(a,0)＝，
＝＝，
∴·＝－a×＋a×＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
11．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
解析 设M(x0，y0)、N(x，y)．
由＝2得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
∴
∵点M(x0，y0)在C上，∴(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
即(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4.
∴x2＋y2＝1.∴所求点N的轨迹方程是x2＋y2＝1.
12．(16分)已知长方形ABCD，AB＝3，BC＝2，E为BC中点，P为AB上一点．
(1)利用向量知识判定点P在什么位置，∠PED＝45°；
(2)若∠PED＝45°，求证：P、D、C、E四点共圆．
解析
(1)如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，
设P(0，y)，∴＝(1,3)，
＝(－1，y)(y>0)，∴||＝，||＝，·＝3y－1，代入cos 45°＝，解得y＝2.
∴点P在靠近点A的AB的三等分处．
(2)当∠PED＝45°时，由(1)知P(0,2)，
∴＝(2,1)，＝(－1,2)，
∴·＝0，
∴∠DPE＝90°，又∠DCE＝90°，
∴D、P、E、C四点共圆．
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