【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】10：概率与统计
一、选择题
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为 （ ）
A． B． C． D．
C
由得，解得，所以事件“”发生的概率为，选C.
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）如图,在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为,则图形面积的估计值为
（ ）
A． B． C． D．
C
设图形面积的为,则由实验结果得，解,所以选C.
．（2013北京东城高三二模数学文科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中的值等于
（ ）
A． B．
C． D．
C
成绩在的矩形的面积为，所以，解得，选C.
．（2013北京朝阳二模数学文科试题）将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是 （ ）
A． B． C． D．
C
画出关于的不等式组所构成的三角形区域，如图．。三角形ABC的面积为。离三个顶点距离等于1的地方为三个小扇形，它们的面积之和为，所以该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是,选。
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）在平面区域内任取一点,若满足的概率大于,则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
D
其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b为直角边长的等腰直角三角形，其面积为，所以在区域D内随机取一个点，则此点满足的概率,由题意令，解得,选D．
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）从中随机选取一个数,从中随机选取一个数,则关于的方程有两个不相等的实根的概率是 （ ）
A． B． C． D．
C
有5种取法，有3种取法，所以共有15种结果。要使方程有两个不相等的实根，则有，即。若，则，此时。若，则，此时。若，则，此时。所以共有9种。所以关于的方程有两个不相等的实根的概率是，选C.
二、填空题
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数据可知=________;若要从成绩在 , , 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取人参加面试,则成绩在内的学生中,学生甲被选取的概率为_________.
0.040 ；
由频率分步直方图知，（0.016+0.064+0.06+a+0.02）×5=1，解得a=0.040．第3组的人数为0.060×5×50=15，第4组的人数为0.040×5×50=10．第5组的人数为0.020×5×50=5，因为第3、4、5组共抽30名学生，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生。每组抽取的人数分别为：第3组：。第4组：。第5组：。所以第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人．则成绩在[95，100]内的5个学生中抽2个，学生甲被选取的概率为。
．（2013北京西城高三二模数学文科）右图是甲,乙两组各名同学身高(单位:)数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为和, 则______. (填入:“”,“”,或“”)
由茎叶图，甲班平均身高为，乙班平均身高为，所以.
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知变量具有线性相关关系,测得的一组数据如下:,其回归方程为,则的值等于_______.
0.9
样本数据的平均数，，即回归直线过点，代入回归直线得，解得。
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图,则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.
甲
乙
9
0
9 8 5
1
6 7
6 3
2
2 3 3 5 7
8 6
3
1
乙
由茎叶图可知：乙运动员的得分大部分集中在22～27分之间，而甲运动员的得分相对比较散。故乙运动员的成绩发挥比较稳定．
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数,则甲组工人天每人加工零件的平均数为____________;若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人加工零件的总数超过了的概率为________
甲组
乙组
9 8
1
9 7 1
2 1
2
1
组工人1天每人加工零件的平均数为。所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个， 故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为。
．（2013北京西城高三二模数学文科）设,随机取自集合,则直线与圆有公共点的概率是_____.
直线与圆有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，所以，即.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有1组.当时，，此时，有3组.所以共有5组.所有满足，的组合有组.所以满足条件的概率为.
三、解答题
．（2013北京朝阳二模数学文科试题）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米(含6米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.
(Ⅰ)求实数的值及参加“掷实心球”项目测试的人数;
(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率;
(Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率.
解:(Ⅰ)由题意可知,解得.
所以此次测试总人数为.
答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人
(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率为
(Ⅲ)设事件A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组.
由已知,测试成绩在有2人,记为;在有6人,记为.
从这8人中随机抽取2人有,
共28种情况.
事件A包括共12种情况.
所以.
答:随机抽取的2名学生来自不同组的概率为
．（2013北京东城高三二模数学文科）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人)
年级
相关人数
抽取人数
高一
99
高二
27
高三
18
2
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若从高二、高三年级抽取的人中选人,求这二人都来自高二年级的概率.
(共13分)
解:(Ⅰ)由题意可得 ,所以,.
(Ⅱ)记从高二年级抽取的人为,,,从高三年级抽取的人为,,
则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有:,,,,,,,,,共种
设选中的人都来自高二的事件为,
则包含的基本事件有:,,共种.
因此.
故选中的人都来自高二的概率为
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字,一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次,正方体正面向上的数字为,正四面体的三个侧面上的数字之和为 .
(Ⅰ)求事件的概率;
(Ⅱ)求事件“点满足”的概率.
(Ⅰ)由题可知的取值为,的取值为
基本事件空间:
共计24个基本事件
满足的有共2个基本事件
所以事件的概率为
(Ⅱ)设事件B=“点(a,b)满足”
当时,满足
当时,满足
当时,满足
所以满足 的有,
所以
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）高三某班20名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图).
(Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差;
(Ⅱ)从身高超过180cm的五位同学中随机选出两位
同学参加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.
解: (Ⅰ),
;
答: 第一组学生身高的平均值为173cm,方差为23.6.
(Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件A,
身高在180以上的学生别记为a,b,c,d,e,其中a,b属于第一组,c,d,e属于第二组.
从五位同学中随机选出两位的结果是如下10种:
(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).
其中两位同学在同一小组的4种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e)
.
答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为
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