【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】14：导数
一、填空题
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:
设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题:
①函数的对称中心坐标为_________;
②计算=________.
，
，，由，解得。，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.
若,则该函数的对称中心为____,
计算____.
，
，，由，解得。，所以函数的拐点为，所以该函数的对称中心为。所以有，所以，所以。
二、解答题
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,其中为正实数,是的一个极值点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,求函数在上的最小值.
解:
(Ⅰ)因为是函数的一个极值点,所以
因此,解得
经检验,当时,是的一个极值点,故所求的值为
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 令,得
与的变化情况如下:
+
0
-
0
+
所以,的单调递增区间是 单调递减区间是
当时,在上单调递减,在上单调递增
所以在上的最小值为
当时,在上单调递增,
所以在上的最小值为
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知函数,,其中为常数,,函数的图象与坐标轴交点处的切线为,函数的图象与直线交点处的切线为,且.
(Ⅰ)若对任意的,不等式成立,求实数的取值范围.
(Ⅱ)对于函数和公共定义域内的任意实数.我们把 的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.
解(Ⅰ)函数的图象与坐标轴的交点为, 又
函数的图象与直线的交点为,
又 由题意可知,又,所以
不等式可化为 即
令,则,
又时,,
故在上是减函数,即在上是减函数
因此,在对任意的,不等式成立,
只需
所以实数的取值范围是
(Ⅱ)证明:和的公共定义域为,由(Ⅰ)可知,
令,则,在上是增函数
故,即 ①
令,则,
当时,;当时,,
有最大值,因此②
由①②得,即
又由①得 由②得
故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知函数.
(1)当时,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,求实数的值;
(II)若,都有,求实数的取值范围.
解:(I)当因为,
若函数在点处的切线与函数在点处的切线平行,
所以,解得
此时在点处的切线为
在点 处的切线为
所以
(II)若,都有
记,
只要在上的最小值大于等于0
则随的变化情况如下表:
0
极大值
当时,函数在上单调递减,为最小值
所以,得 所以
当时,函数在上单调递减,在上单调递增 ,
为最小值,所以,得
所以
综上,
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知函数在处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在上的最小值;
(Ⅲ)求证:对任意,都有.
(Ⅰ)
由已知得即
解得:
当时,在处函数取得极小值,所以
(Ⅱ), .
-
0
+
减
增
所以函数在递减,在递增
当时,在单调递增,
当时,
在单调递减,在单调递增,.
当时,,
在单调递减,
综上 在上的最小值
(Ⅲ)由(Ⅰ)知, .
令 得 因为
所以
所以,对任意,都有
．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知函数,().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)求证:当时,对于任意,总有成立.
解:(Ⅰ)函数的定义域为,.
当时,
当变化时,,的变化情况如下表:
0
0
↘
↗
↘
当时,
当变化时,,的变化情况如下表:
0
0
↗
↘
↗
综上所述,
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当时,
在上单调递增,;在上单调递减,且.
所以时,.
因为,所以,令,得.
①当时,由,得;由,得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
所以.
因为,
所以对于任意,总有.
②当时,在上恒成立,
所以函数在上单调递增,.
所以对于任意,仍有.
综上所述,对于任意,总有
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知函数 .
(Ⅰ)若直线与曲线相切,切点是P(2,0),求直线的方程;
(Ⅱ)讨论的单调性.
解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数f(x)的图象上,(f(2)=0
(,即,
(f(x)=,(,
(,
(直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0
(Ⅱ)的定义域为,
,
由得,
①当时,在(0,+()上恒成立,当且仅当x=1时,,
的单调递增区间是(0,+();
②当a=0时,,,,
的单调递增区间是(1,+(),的单调递减区间是(0,1);
③当时,,,
的单调递增区间是(0,a)和(1,+(),的单调递减区间是(a,1);
④当时,,,
的单调递增区间是(0,1)和(a,+(),的单调递减区间是(1,a).
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知函数
(Ⅰ)若在处的切线与直线平行,求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
解:(I)的定义域为
由在处的切线与直线平行,则
此时令
与的情况如下:
()
1
—
0
+
↘
↗
所以,的单调递减区间是(),单调递增区间是
(II)由
由及定义域为,令
①若在上,,在上单调递增,;
② 若在上,,单调递减;在上,,单调递增,因此在上,;
③ 若在上,,在上单调递减,
综上,当时,当时,当时,
．（2013北京东城高三二模数学文科）已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果是曲线上的点,且,若以 为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值.
(共14分)
解:(Ⅰ) ,定义域为, 则.
因为,由得, 由得,
所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为.
(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足 ,
所以对恒成立. 又当时, ,
所以的最小值为
．（2013北京西城高三二模数学文科）已知函数,其中.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
(Ⅰ)解:的定义域为, 且
当时,,,
所以曲线在点处的切线方程为 ,
即
(Ⅱ)解:方程的判别式,
令 ,得 ,或
和的情况如下:
↗
↘
↗
故的单调增区间为,;单调减区间为.
① 当时,,此时在区间上单调递增,
所以在区间上的最小值是
② 当时,,此时在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以在区间上的最小值是
③ 当时,,此时在区间上单调递减,
所以在区间上的最小值是
综上,当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是;当时,在区间上的最小值是.
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