【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】5：数列 一、选择题  ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足, 则下列结论中错误的是 （　　） A．若,则 B．若,则可以取3个不同的值 C．若,则数列是周期为的数列 D．且,数列是周期数列 D A若，则，所以，，，，所以A成立。B.若。若，则。若，则。若，则。若，则，若，则。若，则，不合题意。所以满足的m可以取3个不同的值，正确。C. ，则，，所以。此时数列是周期为的数列，所以正确。所以不正确的选D.  ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知数列中,,等比数列的公比满足且,则 （　　） A． B． C． D． B 因为，，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B.  ．（2013北京东城高三二模数学文科）在数列中,若对任意的,都有(为常数),则称数列 为比等差数列,称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差; ③若数列满足,,(),则该数列不是比等差数列;④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 （　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ D ①若等比数列的公比为,则为常数，所以一定是比等差数列。当等差数列的公差时，有，为比等差数列。当等差数列的公差，不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正确。②若数列满足，则，不是常数，所以数列不是比等差数列，所以错误。③由得。，因为，，所以，即③数列不是比等差数列。所以③正确。④若是等差数列，是等比数列，不妨设，则，所以，，所以不是常数，所以数列不是比等差数列，所以④错误。所以正确的命题是①③,选D. 二、填空题  ．(2013北京海淀区二模数学文科试题及答案） 已知数列{an}是等比数列，且，，则的值为____.  由，得，，解得。当时，，此时。当时，，此时.  ． (2013北京房山区二模数学文科试题及答案）数列是公差不为0的等差数列，，且是的等比中项，则数列的通 项公式 .  因为是的等比中项，所以，即，解得，所以。  ． （2013北京东城区二模数学文科试题及答案）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为 ，的值为 ．   若公比，则，不满足，所以。所以由，得，，解得或（舍去），。所以，所以。 ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知等差数列的公差为,是与的等比中项,则首项_,前项和__. 8；， 因为是与的等比中项，所以，即，所以，解得，所以，。 ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,,,;当时,,,,.则当时,______;试写出______. 63； 当时，，，，，所以。由于，，，所以猜想。 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）等差数列{}中,,,则该数列的前10项和S10的值是_______. 25 在等差数列中，由a3=5,a5=3,得，所以。 三、解答题 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知等差数列的前项和为. (I)若,,求的通项公式; (II)若,解关于的不等式. 解:(I)设的公差为 因为, 所以 所以 所以  (II)因为 当时, 所以, 又时, 所以  所以 所以,即 所以或,所以, ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分13分) 1 2 3    1 0 1    设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可); (Ⅱ) 数表如表2所示,若经过任意一次“操作”以后, 便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为 非负整数,求整数的值; (Ⅲ)对由个整数组成的行列的任意一个数表, 能否经过有限次“操作”以后,使得得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 解:(I) 法1:  法2:  法3:  (写出一种即可) (II) 每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1; ①如果操作第三列,则  则第一行之和为,第二行之和为, ,解得 ② 如果操作第一行  则每一列之和分别为,,, 解得 综上 (III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中个数之和增加,且增加的幅度大于等于,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 个数之和必然小于等于,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止 之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知为等差数列的前项和,且. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和公式. 解(Ⅰ)设等差数列的公差为, 因为 所以解得 所以 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,令 则, 又 所以是以4为首项,4为公比的等比数列, 设数列的前项和为 则 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）给定有限单调递增数列{xn}(n∈N*,n≥2)且xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i, j≤n,且i,j∈N*}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P. (I)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质P,求证: ①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj =0: ②若x1=-1, xn>0且xn>1,则x2=l.   ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知等差数列的通项公式为an=3n-2,等比数列中,.记集合 ,,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前50项和; (Ⅲ)把集合中的元素从小到大依次排列构成数列,写出数列的通项公式,并说明理由. 解:(Ⅰ)设等比数列的公比为q, ,则q3=8,q=2,bn=2n-1, (Ⅱ)根据数列{an}和数列的增长速度,数列的前50项至多在数列{an}中选50项,数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,,148},由2n-1<148得,n≤8,数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{an}中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项 所以S50==3321; (Ⅲ)据集合B中元素2,8,32,128A,猜测数列的通项公式为dn =22n-1 dn=b2n ,只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2nA() 证明如下: b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1, 若m∈N*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A(). 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数列的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A, 当n=1时,显然b2=2A,即有b4=2A,重复使用上述结论, 即得b2nA,dn =22n-1; ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知实数(且)满足 ,记. (Ⅰ)求及的值; (Ⅱ)当时,求的最小值; (Ⅲ)当为奇数时,求的最小值. 注:表示中任意两个数,()的乘积之 解:(Ⅰ)由已知得.  (Ⅱ)时,. 固定,仅让变动,那么是的一次函数或常函数, 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可以被某一组取值的所达到,于是. 当()时, . 因为,所以,且当,,时, 因此 (Ⅲ) . 固定,仅让变动,那么是的一次函数或常函数, 因此. 同理. . 以此类推,我们可以看出,的最小值必定可以被某一组取值的所达到,于是. 当()时, . 当为奇数时,因为, 所以,另一方面,若取, ,那么,因此 ．（2013北京西城高三二模数学文科）已知集合是正整数的一个排列,函数  对于,定义:,,称为的满意指数.排列为排列的生成列. (Ⅰ)当时,写出排列的生成列; (Ⅱ)证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅲ)对于中的排列,进行如下操作:将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加. (Ⅰ)解:当时,排列的生成列为 (Ⅱ)证明:设的生成列是;的生成列是与. 从右往左数,设排列与第一个不同的项为与,即:,,,,. 显然 ,,,,下面证明: 由满意指数的定义知,的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数. 由于排列的前项各不相同,设这项中有项比小,则有项比大,从而. 同理,设排列中有项比小,则有项比大,从而. 因为 与是个不同数的两个不同排列,且, 所以 , 从而 . 所以排列和的生成列也不同 (Ⅲ)证明:设排列的生成列为,且为中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以  依题意进行操作,排列变为排列,设该排列的生成列为 所以   . 所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 ．（2013北京西城高三二模数学文科）已知等比数列的各项均为正数,,. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设.证明:为等差数列,并求的前项和.  (Ⅰ)解:设等比数列的公比为,依题意  因为 ,, 两式相除得 , 解得 , 舍去  所以  所以数列的通项公式为  (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得  因为 , 所以数列是首项为,公差为的等差数列 所以  ．（2013北京东城高三二模数学文科）已知数列,,,,. (Ⅰ)求,; (Ⅱ)是否存在正整数,使得对任意的,有. (共13分) 解:(Ⅰ); . (Ⅱ)假设存在正整数,使得对任意的,有. 则存在无数个正整数,使得对任意的,有. 设为其中最小的正整数. 若为奇数,设(), 则. 与已知矛盾. 若为偶数,设(), 则, 而 从而. 而,与为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数,使得对任意的,有 ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知为等差数列的前项和,且. (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)若等比数列满足,求的前项和公式. 解:(Ⅰ)设等差数列的公差为.因为, 所以 解得 所以 (II)设等比数列的公比为,因为 所以 所以的前项和公式为 ．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知数列的前项和为,且,其中. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求数列的通项公式; (Ⅲ)设数列满足,为的前项和,试比较与 的大小,并说明理由 (Ⅰ)由于, (Ⅱ)由已知可知,故. 因为,所以 于是 ,,所以  (Ⅲ) 要比较与的大小,只需比较的大小 由,得,故 从而 .  因此  . 设, 则, 故, 又,所以. 所以对于任意  都有, 从而.所以. 即  。
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