【解析分类汇编系列六:北京2013(二模)数学文】7:立体几何
一、选择题
.(2013北京昌平二模数学文科试题及答案)已知四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
( )
A. B. C. D.
D
由三视图可知该几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点,底面边长分别为3,2,后面是直角三角形,直角边为3与2,所以后面的三角形的高为。右面三角形是直角三角形,直角边长为:2,2,三角形的面积为。前面三角形是直角三角形,直角边长为:其面积为。前左面也是直角三角形,直角边长为,三角形的面积为。所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为,选D.
.(2013北京东城高三二模数学文科)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中红色部分),利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形.故选D.
.(2013北京房山二模数学文科试题及答案)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为 ( )
A. B. C. D.
A
视图复原的几何体是长方体的一个角,如图:直角顶点处的三条棱长分别为,其中斜侧面的高为。所以几何体的表面积为,选A.
.(2013北京朝阳二模数学文科试题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.
A
由题设条件,此几何几何体为一个三棱锥,如图红色的部分.其中高为1,底面是直角边长为1的等腰直角三角形,所以底面积为,所以三棱锥的体积为,选A.
.(2013北京丰台二模数学文科试题及答案)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
( )
A.24 B.20+4 C.28 D.24+ 4
B
由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥,该几何体的下部是边长为2的正方体,所以该几何体的表面积为,.选B.
.(2013北京海淀二模数学文科试题及答案)某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为
( )
A. B.
C. D.
B
由三视图可知,该几何体的下面部分是边长为6的正方体。上部分为四棱锥。四棱锥的底面为正方形,边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为,选B.
二、填空题
.(2013北京顺义二模数学文科试题及答案)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为,则.
4
由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是:,即,解得。
三、解答题
.(2013北京丰台二模数学文科试题及答案)如图,多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE,,,M为BE中点.
(Ⅰ)求证:DM//平面ABC;(Ⅱ)求证:平面BDE平面BCD.
解:(Ⅰ)设N为BC中点,连结MN,AN,
M为BE中点,MN//EC,且MN=EC,
AD//EC,且AD=EC,
四边形ANMD为平行四边形,
AN //DM
DM平面ABC,AN平面ABC,
DM//平面ABC;
(Ⅱ),,平面ACED,
平面ACED, DE,
∵DEDC,
又BC,, DE平面BCD
平面BDE,平面BDE平面BCD
.(2013北京房山二模数学文科试题及答案)如图,是正方形, 平面,,.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求证:平面;
(Ⅲ) 求四面体的体积.
(Ⅰ)证明:因为平面, 所以
因为是正方形, 所以,
因为 所以平面
(Ⅱ)证明:设,
取中点,连结,
所以,
因为,,所以,
从而四边形是平行四边形,
因为平面,平面,
所以平面,即平面
(Ⅲ)解:因为平面 所以
因为正方形中,,所以平面
因为,,所以的面积为,
所以四面体的体积
.(2013北京东城高三二模数学文科)如图,△是等边三角形, ,,,,分别是,,的中点,将△沿折叠到△的位置,使得.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求证:平面.
(共14分)
证明:(Ⅰ)因为,分别是,的中点,
所以.
因为平面,
平面,
所以平面.
同理平面.
又因为,
所以平面平面.
(Ⅱ)因为,所以.
又因为,且,所以平面.
因为平面,所以.
因为△是等边三角形,,
不防设,则 ,可得.
由勾股定理的逆定理,可得.
因为,所以平面
.(2013北京朝阳二模数学文科试题)如图,已知四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使平面?
若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点, 所以.
又因为平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)因为平面,所以.
又因为,,
所以平面.
由已知,分别为线段,的中点,
所以.
则平面.
而平面,
所以平面平面
(Ⅲ)在线段上存在一点,使平面.证明如下:
在直角三角形中,因为,,所以.
在直角梯形中,因为,,所以,
所以.又因为为的中点,所以.
要使平面,只需使.
因为平面,所以,又因为,,
所以平面,而平面,所以.
若,则∽,可得.
由已知可求得,,,所以
.(2013北京海淀二模数学文科试题及答案)如图1,在直角梯形中,AD//BC, =900,BA=BC .把ΔBAC沿折起到的位置,使得点在平面ADC上的正投影恰好落在线段上,如图2所示,点分别为线段PC,CD的中点.
(I) 求证:平面OEF//平面APD;
(II)求直线CD⊥与平面POF;
(III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由.
解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上
所以平面,所以
因为,所以是中点,
所以
同理 又
所以平面平面
(II)因为,
所以
又平面,平面 所以
又 所以平面
(III)存在,事实上记点为即可
因为平面,平面 所以
又为中点,所以
同理,在直角三角形中,,
所以点到四个点的距离相等
.(2013北京顺义二模数学文科试题及答案)如图,四棱柱中, 是上的点且为中边上的高.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.
(Ⅰ)证明:,且平面PCD,平面PCD,所以平面PDC
(Ⅱ)证明:因为AB平面PAD,且PH平面PAD , 所以
又PH为中AD边上的高, 所以
又 所以平面
而平面 所以
(Ⅲ)解:线段上存在点,使平面
理由如下:
如图,分别取的中点G、E
则
由
所以
所以为平行四边形,故
因为AB平面PAD,所以 因此,
因为为的中点,且 所以
因此 又 所以平面
.(2013北京昌平二模数学文科试题及答案)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求三棱锥的体积;
(Ⅲ) 在线段上是否存在点使得?说明理由.
(Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点,为中点.
∴在中,//
且平面,平面
∴
(Ⅱ)解:如图,取的中点, 连结.
∵, ∴.
∵侧面底面,
, ∴.
又所以是等腰直角三角形,
且
在正方形 中,
(III)存在点满足条件,理由如下:设点为中点,连接
由为的中点,所以//,
由(I)得//,且所以.
∵侧面底面,,
所以,.
所以,的中点为满足条件的点
.(2013北京西城高三二模数学文科)如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)求四面体的体积;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)证明:平面平面.
(Ⅰ)解:由左视图可得 为的中点,
所以 △的面积为
因为平面,
所以四面体的体积为
(Ⅱ)证明:取中点,连结,
由正(主)视图可得 为的中点,所以∥,
又因为∥,, 所以∥,.
所以四边形为平行四边形,所以∥
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面
(Ⅲ)证明:因为 平面,所以 .
因为面为正方形,所以 .
所以 平面
因为 平面,所以 .
因为 ,为中点,所以 .
所以 平面
因为 ∥,所以平面
因为 平面, 所以 平面平面
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