【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】7：立体几何 一、选择题  ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是  （　　） A． B． C． D． D 由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边为3与2，所以后面的三角形的高为。右面三角形是直角三角形，直角边长为：2，2，三角形的面积为。前面三角形是直角三角形，直角边长为：其面积为。前左面也是直角三角形，直角边长为，三角形的面积为。所以四棱锥P-ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为，选D.  ．（2013北京东城高三二模数学文科）已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为  （　　） A．1 B．2 C．3 D．4 D 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．  ．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为 （　　） A． B． C． D．  A 视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为，其中斜侧面的高为。所以几何体的表面积为，选A. ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 （　　） A． B． C． D．  A 由题设条件，此几何几何体为一个三棱锥，如图红色的部分．其中高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，所以底面积为，所以三棱锥的体积为，选A. ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为  （　　） A．24 B．20+4 C．28 D．24+ 4 B 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为，.选B． ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为  （　　） A． B． C． D． B 由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。上部分为四棱锥。四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为，选B. 二、填空题 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为,则.  4 由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：，即，解得。 三、解答题 ．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）如图,多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE,,,M为BE中点. (Ⅰ)求证:DM//平面ABC;(Ⅱ)求证:平面BDE平面BCD.  解:(Ⅰ)设N为BC中点,连结MN,AN,  M为BE中点,MN//EC,且MN=EC,  AD//EC,且AD=EC, 四边形ANMD为平行四边形,  AN //DM  DM平面ABC,AN平面ABC,  DM//平面ABC; (Ⅱ),,平面ACED, 平面ACED, DE, ∵DEDC, 又BC,, DE平面BCD 平面BDE,平面BDE平面BCD ．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）如图,是正方形, 平面,,. (Ⅰ) 求证:平面; (Ⅱ) 求证:平面; (Ⅲ) 求四面体的体积.   (Ⅰ)证明:因为平面, 所以 因为是正方形, 所以, 因为 所以平面 (Ⅱ)证明:设, 取中点,连结, 所以, 因为,,所以, 从而四边形是平行四边形, 因为平面,平面, 所以平面,即平面 (Ⅲ)解:因为平面 所以  因为正方形中,,所以平面 因为,,所以的面积为, 所以四面体的体积 ．（2013北京东城高三二模数学文科）如图,△是等边三角形, ,,,,分别是,,的中点,将△沿折叠到△的位置,使得. (Ⅰ)求证:平面平面; (Ⅱ)求证:平面.   (共14分) 证明:(Ⅰ)因为,分别是,的中点, 所以. 因为平面, 平面, 所以平面. 同理平面. 又因为, 所以平面平面. (Ⅱ)因为,所以. 又因为,且,所以平面. 因为平面,所以. 因为△是等边三角形,, 不防设,则 ,可得. 由勾股定理的逆定理,可得. 因为,所以平面 ．（2013北京朝阳二模数学文科试题）如图,已知四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)在线段上是否存在一点,使平面? 若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.    (Ⅰ)证明:因为,分别为,的中点, 所以. 又因为平面,平面, 所以平面 (Ⅱ)因为平面,所以. 又因为,, 所以平面. 由已知,分别为线段,的中点, 所以. 则平面. 而平面, 所以平面平面 (Ⅲ)在线段上存在一点,使平面.证明如下: 在直角三角形中,因为,,所以. 在直角梯形中,因为,,所以, 所以.又因为为的中点,所以. 要使平面,只需使. 因为平面,所以,又因为,, 所以平面,而平面,所以. 若,则∽,可得. 由已知可求得,,,所以 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）如图1,在直角梯形中,AD//BC, =900,BA=BC .把ΔBAC沿折起到的位置,使得点在平面ADC上的正投影恰好落在线段上,如图2所示,点分别为线段PC,CD的中点.  (I) 求证:平面OEF//平面APD; (II)求直线CD⊥与平面POF; (III)在棱PC上是否存在一点,使得到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由. 解:(I)因为点在平面上的正投影恰好落在线段上 所以平面,所以 因为,所以是中点, 所以 同理 又 所以平面平面 (II)因为, 所以 又平面,平面 所以 又 所以平面 (III)存在,事实上记点为即可 因为平面,平面 所以 又为中点,所以  同理,在直角三角形中,, 所以点到四个点的距离相等 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）如图,四棱柱中, 是上的点且为中边上的高. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:; (Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.  (Ⅰ)证明:,且平面PCD,平面PCD,所以平面PDC (Ⅱ)证明:因为AB平面PAD,且PH平面PAD , 所以 又PH为中AD边上的高, 所以 又 所以平面 而平面 所以 (Ⅲ)解:线段上存在点,使平面 理由如下: 如图,分别取的中点G、E  则 由 所以 所以为平行四边形,故 因为AB平面PAD,所以 因此, 因为为的中点,且 所以 因此 又 所以平面 ．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点. (Ⅰ) 求证:平面; (Ⅱ) 求三棱锥的体积; (Ⅲ) 在线段上是否存在点使得?说明理由.   (Ⅰ)证明:连结,为正方形,为中点,为中点. ∴在中,// 且平面,平面 ∴ (Ⅱ)解:如图,取的中点, 连结. ∵, ∴. ∵侧面底面, , ∴. 又所以是等腰直角三角形, 且 在正方形 中,  (III)存在点满足条件,理由如下:设点为中点,连接 由为的中点,所以//, 由(I)得//,且所以. ∵侧面底面,,   所以,. 所以,的中点为满足条件的点 ．（2013北京西城高三二模数学文科）如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示. (Ⅰ)求四面体的体积; (Ⅱ)证明:∥平面; (Ⅲ)证明:平面平面.   (Ⅰ)解:由左视图可得 为的中点, 所以 △的面积为  因为平面, 所以四面体的体积为   (Ⅱ)证明:取中点,连结, 由正(主)视图可得 为的中点,所以∥, 又因为∥,, 所以∥,. 所以四边形为平行四边形,所以∥ 因为 平面,平面, 所以 直线∥平面 (Ⅲ)证明:因为 平面,所以 . 因为面为正方形,所以 . 所以 平面 因为 平面,所以 . 因为 ,为中点,所以 . 所以 平面 因为 ∥,所以平面 因为 平面, 所以 平面平面
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