【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】9：圆锥曲线
一、选择题
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点.设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
B
抛物线的焦点为，即,所以双曲线中。双曲线与该抛物线的一个交点为，（不妨设在第一象限）若是以为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。所以,所以,即，所以,解得，即.又在双曲线上，所以,即，所以，即双曲线的离心率。选B.
． （2013北京西城区二模数学文科试题及答案）若双曲线的离心率是，则实数
（A）（B）（C）（D）
B
双曲线的方程为，即，所以.又，所以，解得，选B.
． （2013北京朝阳区二模数学文科试题及答案）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
B
双曲线的渐近线为，不妨取，代入抛物线得，即，要使渐近线与抛物线相切，则，即，又，所以，所以。所以此双曲线的离心率是3，选B.
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
C
由双曲线的方程可知，所以，即离心率，选C.
二、填空题
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）双曲线的一条渐近线方程为,则__________.
双曲线的渐近线方程为，即。
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_____;渐近线方程为_________.
，
椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的顶点为，即，又，所以，解得，所以。所以双曲线的焦点坐标为。双曲线的渐近线方程为。
．（2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于___.
4
抛物线的焦点（1，0），准线为：，设AB的中点为 E，过?A、E、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EF为直角梯形的中位线知，所以,即则B的中点到y轴的距离等于4．.
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为___,若点在抛物线上运动,点在直线上运动,则的最小值等于____.
，
因为抛物线的焦点坐标为，所以。所以抛物线的方程为。设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，与抛物线联立得，即。当判别式时，解得，即切线方程为。所以两平行线的距离为。所以的最小值等于。
三、解答题
．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分丨4分)
已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线交椭圆C于A,B两点,在直线上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求的值.
解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为 的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为
(II)设则
当直线的斜率为时,的垂直平分线就是轴,
轴与直线的交点为,
又因为,所以,
所以是等边三角形,所以直线的方程为
当直线的斜率存在且不为时,设的方程为
所以,化简得
所以 ,则
设的垂直平分线为,它与直线的交点记为
所以,解得,则
因为为等边三角形, 所以应有
代入得到,解得(舍),
此时直线的方程为
综上,直线的方程为或
．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知椭圆C:,其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点,其中点M (m,) 满足,且.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率e;
(Ⅱ)用m表示点E,F的坐标;
(Ⅲ)证明直线EF与y轴交点的位置与m无关.
解:(Ⅰ)依题意知,,;
(Ⅱ),M (m,),且,
直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,
直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,
由得,
由得,
;
(Ⅲ)据已知,,
直线EF的斜率
直线EF的方程为 ,
令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关
．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为,,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.
解(Ⅰ)由已知得,且 解得
又所以椭圆的方程为
(Ⅱ)证明:有题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为
(ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且
则
解得故直线的方程为
因此,点到直线的距离为
又圆的圆心为,半径
所以直线与圆相切
(ⅱ)当直线不垂直于轴时,设直线的方程为
由 得
故
即①
又圆的圆心为,半径
圆心到直线的距离为②
将①式带入②式得 吗 所以
因此,直线与圆相切
．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为且过点.
(I)求此椭圆的方程;
(II)已知定点,直线与此椭圆交于、两点.是否存在实数,使得以线段为直径的圆过点.如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意, 所以椭圆方程为
(II)将代入椭圆方程,得,由直线与椭圆有两个交点,所以,解得.
设、,则,,若以为直径的圆过点,则,即,
而=,所以
,
解得,满足.
所以存在使得以线段为直径的圆过点
．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)依题设,,则,.
由,解得,所以.所以椭圆的方程为
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,弦的中点为,
则,,,,所以.
直线的方程为,
令,得,则.
若四边形为菱形,则,.所以.
若点在椭圆上,则.
整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.
此时点到的距离为
．（2013北京东城高三二模数学文科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线交椭圆于不同的两点,,且,都在以为圆心的圆上,求的值.
(共13分)解(Ⅰ) 因为,,所以 .
因为原点到直线:的距离,解得,.
故所求椭圆的方程为.
(Ⅱ) 由题意消去 ,整理得 . 可知.
设,,的中点是,
则,.
所以. 所以.
即 . 又因为,
所以.所以
．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知椭圆()的焦点坐标为,离心率为.直线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在实数,使得以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由,, 得,,
所以椭圆方程是:
(Ⅱ)设, 则,
将代入,整理得(*)
则
以PQ为直径的圆过,则,即
解得,此时(*)方程,所以 存在,使得以为直径的圆过点
．（2013北京西城高三二模数学文科）如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.
(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;
(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.
(Ⅰ)解:依题意,是线段的中点, 因为,,
所以 点的坐标为
由点在椭圆上, 所以 , 解得
(Ⅱ)解:设,则 ,且. ①
因为 是线段的中点, 所以
因为 ,所以 . ②
由 ①,② 消去,整理得 所以 ,
当且仅当 时,上式等号成立.
所以 的取值范围是
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