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一、填空题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，AD∶AB＝1∶3.若DE＝2，则BC＝__________.
解析：∵DE∥BC，∴＝，即＝.解得BC＝6.
答案：6
2．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，延长AE交BC于F，则＝__________.
解析：如图，过D作DG∥BC交AF于G，
∵E是BD的中点，∴DG＝BF.
又∵DG∥BC，∴＝＝.
∴＝＝.
答案：
3．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是__________．
解析：∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC.
∴△MNO∽△CAO.
∴＝2＝2＝.
答案：1∶4[zzstep.com]
4．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD＝__________.
解析：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CBA.
∴＝，即＝.
∴CD＝2.
答案：2
5．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12.则BE＝__________.
解析：由于∠B＝∠D.
∴∠AEB＝∠C，
从而得△ABE∽△ADC.
∴＝
解得AE＝2，故BE＝＝4.
答案：4
6．如图所示，在?ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM＝__________；DN＝__________.
解析：∵AD∥BC，BE＝EF＝FD，
∴＝＝.
∵AD＝BC＝24，∴BM＝12.[z.zs.tep.com]
∵AD∥BC，∴＝＝.
∴DN＝BM＝6.
答案：12 6
7．如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝6，且AD∶BD＝3∶2，则斜边AB上的中线CE的长为__________．
解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·BD.
设AD＝3x，那么BD＝2x，AB＝5x，
∵CD＝6，∴6x2＝62.
∴x＝，AB＝5x＝5.
∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝AB＝.
答案：
8．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件：________________，使得△ADE∽△ABC.
解析：∵∠A＝∠A，由两角对应相等，两三角形相似，可添加∠1＝∠B或∠2＝∠AED.由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加＝.
答案：∠1＝∠B或∠2＝∠E或＝.
9．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F，若＝，则的值为__________．
解析：过点A作AG∥BC，交BF延长线于点G.[中教网]
由＝，得＝，
由△AGE∽△DBE，得＝＝.
由D为BC中点，知BC＝2BD，故＝.
∵△AGF∽△CBF，∴＝＝.
故＝.
答案：
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且BC∶AC＝2∶3，则BD∶AD＝__________.
解析：由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝＝.
答案：
三、解答题
11．(2013·苏北模拟)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E.
图1
图2
(1)求证：△ABF∽△COE；
(2)当O为AC边中点，＝2时，如图2，求的值；
(3)当O为AC边中点，＝n时，请直接写出的值．
解析：(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC＋∠C＝90°，[中国教育出版网zzstep.com]
∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠C.
∵OE⊥OB，∴∠BOA＋∠COE＝90°，
∵∠BOA＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE.
∴△ABF∽△COE；
(2)方法一：作OG⊥AC，交AD的延长线于G.
∵AC＝2AB，O是AC边的中点，
∴AB＝OC＝OA.
由(1)有△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，∴BF＝OE.
∵∠BAD＋∠DAC＝90°，
∠DAB＋∠ABD＝90°，∴∠DAC＝∠ABD，
又∠BAC＝∠AOG＝90°，AB＝OA.
∴△ABC≌△OAG，∴OG＝AC＝2AB.
∵OG⊥OA，∴AB∥OG，
∴△ABF∽△GOF，
∴＝，＝＝＝2.
方法二：
∵∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD⊥BC于D，
∴Rt△BAD∽Rt△BCA.[中+教+网z+z+s+tep]
∴＝＝2.
设AB＝1，则AC＝2，BC＝，BO＝，
∴AD＝，BD＝.
∵∠BDF＝∠BOE＝90°，∴△BDF∽△BOE，
∴＝.
由(1)知BF＝OE，设OE＝BF＝x，
∴＝，∴x＝DF.
在△DFB中x2＝＋x2，∴x＝.
∴OF＝OB－BF＝－＝，∴＝＝2.
(3)＝n.
12．已知在△ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与AB、AD分别交于点F、E.
(1)如图①，DG∥CF交AB于点G，当D是BC的中点时，求证：＝.
(2)如图②，当＝时，求证：＝.
(3)如图，当＝时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)∵DG∥CF，BD＝DC，∴BG＝FG＝BF.
∵FE∥DG，∴＝.
∴＝＝.
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(2)过点D作DG∥CF交AB于G点，∴＝.
又＝，
∴DC＝2BD＝BC.
∵DG∥FC，∴＝＝.
∴FG＝BF，
∴＝＝.
(3)当＝时，有等式：＝·.
证明如下：如题图，过D作DG∥CF交AB于G点．
∴＝.
又∵＝，∴＝.
∵DG∥FC，
∴＝＝.
∴FG＝BF.
∴＝＝·.
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