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一、选择题
1．a、b为非零实数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋，M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)，N＝x1x2，则M和N的关系( )
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
答案：A
2．已知a、b∈R＋，且a＋b＝1，则＋的最大值是( )
A．2 B．2 C. D．12
答案：B
3．已知x，y为实数，且满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为( )
A．6 B. C．11 D.
答案：D
4．已知x＋y＋z＝1，则μ＝2x2＋3y2＋z2的最小值为( )
A．1 B．6 C．11 D.
答案：D
5．设a1、a2、…、an都是正数，b1、b2、…、bn是a1、a2、…、an的任一排列，则a1b＋a2b＋…＋anb的最小值是( )
A．1 B．n
C．n2 D．无法确定
答案：B
6．设a、b、c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为( )
A. B. C. D.
答案：C[中*国教*育出*版网]
二、填空题
7．若a＋b＝1，则a2＋b2＝__________.
答案：1
8．若不等式|a－1|≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案：a≥4或a≤－2
9．设a1，a2，…，a2011都为正数，且a1＋a2＋…＋a2011＝1，则＋＋…＋的最小值是__________．
答案：
三、解答题
10．求函数y＝＋的最大值．
解析：因为y2＝(＋·)2≤[12＋()2][1－x＋2＋x]＝3×3，∴y≤3，当且仅当＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3.
11．已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．
解析：由柯西不等式知：
[x2＋ (2y)2＋(3z)2]≥2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．
因为x2＋4y2＋9z2＝a(a＞0)，
所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.
因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，
所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，
所以a的值为.
12．已知a，b，c为实数，且a＋b＋c＝2m－2，a2＋b2＋c2＝1－m.
(1)求证：a2＋b2＋c2≥；[中国教育出版网zzstep.com]
(2)求实数m的取值范围．
解析：(1)证明：由柯西不等式得：[a2＋2＋2] (12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，即·14≥(a＋b＋c)2，所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当|a|＝|b|＝|c|时，取等号．
(2)由已知得(a＋b＋c)2＝(2m－2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m)≥(2m－2)2，即2m2＋3m－5≤0，所以－≤m≤1，又a2＋b2＋c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－≤m≤1.
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