选修系列4 综合测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则其直角坐标方程为
( )
A.x＋y＋2－＝0 B.x－y＋2－＝0
C．x－y＋2－＝0 D．x＋y＋2－＝0
答案 B
解析 ∵ ∴y－2＝(x－1)，
即x－y＋2－＝0.
2.
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝10，AC与BD交于点O，过O点作EF∥AD，交AB于E，交DC于F，则EF＝ ( )
A. B.
C．10 D．20
答案 B
3．已知实数集R，集合M＝{x||x－2|≤2}，集合N＝{x|y＝}，则M∩(?RN)＝ ( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0≤x≤1}
C．{x|11}，
∴M∩(?RN)＝{x|0≤x≤4}∩{x|x≤1}＝{x|0≤x≤1}．
4．在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为 ( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 由可知，点(2，)的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cosθ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)的距离为.
5．曲线(t为参数)与坐标轴的交点是 ( )
A．(0，)、(，0) B．(0，)、(，0)
C．(0，－4)、(8,0) D．(0，)、(8,0)
答案 B
解析 当x＝0时，t＝，而y＝1－2t，即y＝，得与y轴的交点为(0，)；当y＝0时，t＝，而x＝－2＋5t，即x＝，得与x轴的交点为(，0)．
6.
如图，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D、点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为 ( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D.∶1
答案 A
解析 连接BE，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，
又∵CE为⊙O的直径，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°.
∴BE＝AB＝a，∴AE＝a.
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，
即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.
7．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ?把直线代入x2＋y2＝9，得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0.
|t1－t2|＝＝＝，弦长为|t1－t2|＝.
8．已知正实数x，y满足2x＋y＋m＝xy，若xy的最小值是9，则实数m的值为 ( )
A．3 B.
C．－1 D．3或－1
答案 A
解析 由基本不等式，得xy≥2＋m，令＝t，得不等式t2－2t－m≥0.∵xy的最小值是9，∴t的最小值是3.∴3是方程t2－2t－m＝0的一个根，∴m＝3.选A.
9.
如图，AC切⊙O于D，AO延长线交⊙O于B，BC切⊙O于B，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB等于 ( )
A．2∶1 B．1∶1
C．1∶2 D．2∶1.5
答案 A
解析 如右图所示，连接OD、OC.
∵AD∶AC＝1∶2，
∴D为AC的中点．
又∵AC切⊙O于点D，
∴OD⊥AC.∴OA＝OC.
∴△AOD≌△COD.∴∠1＝∠2.
又∵△OBC≌△ODC，∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC＝2OB.
∴OA＝2OB.故选A.
10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝2，直线l与曲线C交于A、B，则|AB|＝ ( )
A. B．2
C．4 D．4
答案 B
解析 依题意得，直线AB的普通方程是y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.曲线C的标准方程是x2＋y2＝4，圆心C(0,0)到直线AB的距离等于＝，|AB|＝2＝2，选B.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是________．
答案 105°
解析 参数方程?消去参数t，得y－cosθ＝－tan75°(x－sinθ)．
∴k＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°.
故直线的倾斜角是105°.
12.
如图，AB是半圆的直径，点C、D在上，且AD平分∠CAB，已知AB＝10，AC＝6，则AD等于________．
答案 4
解析 如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠D＝90°.
又∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8.
∴cos∠BAC＝.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC.
∴2cos2∠BAD＝1＋cos∠BAC＝.
∴cos∠BAD＝.
又在Rt△ADB中，AD＝AB·cos∠BAD＝10×＝4.
13．(2012·广东)不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
答案 {x|x≤－}
解析 由|x＋2|－|x|≤1，得|x＋2|≤1＋|x|，得x2＋4x＋4≤1＋2|x|＋x2，得4x＋3≤2|x|.
若x≥0，则4x＋3≤2x，得x≤－，此时无解；
若x<0，则4x＋3≤－2x，得x≤－.
故|x＋2|－|x|≤1的解集为{x|x≤－}．
14．(2012·天津理)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
答案 2
解析 消去参数得抛物线的普通方程，根据抛物线的定义，利用直角三角形中边的关系建立方程求解．由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F(，0)，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，在直角三角形EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
15．如图所示，AB是半径等于3的⊙O的直径，CD是⊙O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA＝4，PC＝5，则∠CBD＝________.
答案 30°
解析 连接AC，DO，OC，由圆内接四边形的对角互补可得△PAC∽△PDB，
∴＝.∴PD＝8，CD＝3.
又OC＝OD＝3，∴△OCD为等边三角形．
∴∠COD＝60°.∴∠CBD＝∠COD＝30°.
16．(2012·湖北理)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
答案 (，)
解析 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将θ＝，转化为直角坐标方程为y＝x(x≥0)，曲线为y＝(x－2)2，联立上述两个方程得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，故线段AB的中点坐标为(，)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2012·江苏理)已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
解析 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤
2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，从而3|y|<＋＝，所以|y|<.
18．(本小题满分12分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP.
证明 (1)∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠P＝∠PCD，∴∠P＝∠EDF.
(2)∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD，BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB，∴CE·EB＝EF·EP.
19．(本小题满分12分)(2012·辽宁理)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解析 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)方法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．
方法二 将x＝1代入
得ρcosθ＝1，从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
.
20．(2013·保定模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋2a(a∈R)．
(1)解关于x的不等式f(x)<3.
(2)若不等式f(x)≥ax，?x∈R恒成立，求a的取值范围．
解析 (1)由f(x)<3，即|x－1|＋2a<3，得|x－1|<3－2a.
当3－2a≤0时，即a≥，不等式的解集为?；
当3－2a>0时，即a<，不等式等价于2a－32时，a≤恒成立，
∵∈(1，＋∞)，∴a≤1.
综上，?x∈R使得不等式f(x)≥ax恒成立的a的取值范围是[0,1]．
方法二 由f(x)≥ax，即|x－1|＋2a≥ax，
∴|x－1|≥a(x－2)．
依题意，y＝|x－1|的图像恒在y＝a(x－2)图像的上方，而y＝a(x－2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a≤1.
21.
(本小题满分12分)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.
(1)求证：FB＝FC；
(2)求证：FB2＝FA·FD；
(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6，求AD的长．
解析 (1)∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.
∴FB＝FC.
(2)∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，
∴△FBA∽△FDB，∴＝，∴FB2＝FA·FD.
(3)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∠BAC＝60°.∴∠D＝30°.
∵BC＝6 cm，∴AC＝2 cm，∴AD＝2AC＝4 cm.
22．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解析 (1)由已知可得
A(2cos，2sin)，B(2cos(＋)，2sin(＋))，
C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，D(2cos(＋)，2sin(＋))，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
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