选修系列4 综合测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)
1.已知直线l的参数方程为(t为参数),则其直角坐标方程为
( )
A.x+y+2-=0 B.x-y+2-=0
C.x-y+2-=0 D.x+y+2-=0
答案 B
解析 ∵ ∴y-2=(x-1),
即x-y+2-=0.
2.
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5,BC=10,AC与BD交于点O,过O点作EF∥AD,交AB于E,交DC于F,则EF= ( )
A. B.
C.10 D.20
答案 B
3.已知实数集R,集合M={x||x-2|≤2},集合N={x|y=},则M∩(?RN)= ( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x≤1}
C.{x|11},
∴M∩(?RN)={x|0≤x≤4}∩{x|x≤1}={x|0≤x≤1}.
4.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为 ( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 由可知,点(2,)的直角坐标为(1,),圆ρ=2cosθ的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,则圆心到点(1,)的距离为.
5.曲线(t为参数)与坐标轴的交点是 ( )
A.(0,)、(,0) B.(0,)、(,0)
C.(0,-4)、(8,0) D.(0,)、(8,0)
答案 B
解析 当x=0时,t=,而y=1-2t,即y=,得与y轴的交点为(0,);当y=0时,t=,而x=-2+5t,即x=,得与x轴的交点为(,0).
6.
如图,E,C分别是∠A两边上的点,以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D、点B,若∠A=45°,则△AEC与△ADB的面积比为 ( )
A.2∶1 B.1∶2
C.∶1 D.∶1
答案 A
解析 连接BE,求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值,设AB=a,∵∠A=45°,
又∵CE为⊙O的直径,
∴∠CBE=∠ABE=90°.
∴BE=AB=a,∴AE=a.
∴AE2∶AB2=2a2∶a2,
即AE2∶AB2=2∶1,∴S△AEC∶S△ABD=2∶1.
7.直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ?把直线代入x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,5t2+8t-4=0.
|t1-t2|===,弦长为|t1-t2|=.
8.已知正实数x,y满足2x+y+m=xy,若xy的最小值是9,则实数m的值为 ( )
A.3 B.
C.-1 D.3或-1
答案 A
解析 由基本不等式,得xy≥2+m,令=t,得不等式t2-2t-m≥0.∵xy的最小值是9,∴t的最小值是3.∴3是方程t2-2t-m=0的一个根,∴m=3.选A.
9.
如图,AC切⊙O于D,AO延长线交⊙O于B,BC切⊙O于B,若AD∶AC=1∶2,则AO∶OB等于 ( )
A.2∶1 B.1∶1
C.1∶2 D.2∶1.5
答案 A
解析 如右图所示,连接OD、OC.
∵AD∶AC=1∶2,
∴D为AC的中点.
又∵AC切⊙O于点D,
∴OD⊥AC.∴OA=OC.
∴△AOD≌△COD.∴∠1=∠2.
又∵△OBC≌△ODC,∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2=∠3=60°,∴OC=2OB.
∴OA=2OB.故选A.
10.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的参数方程是(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=2,直线l与曲线C交于A、B,则|AB|= ( )
A. B.2
C.4 D.4
答案 B
解析 依题意得,直线AB的普通方程是y-1=x+1,即x-y+2=0.曲线C的标准方程是x2+y2=4,圆心C(0,0)到直线AB的距离等于=,|AB|=2=2,选B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)
11.直线(t为参数,θ是常数)的倾斜角是________.
答案 105°
解析 参数方程?消去参数t,得y-cosθ=-tan75°(x-sinθ).
∴k=-tan75°=tan(180°-75°)=tan105°.
故直线的倾斜角是105°.
12.
如图,AB是半圆的直径,点C、D在上,且AD平分∠CAB,已知AB=10,AC=6,则AD等于________.
答案 4
解析 如图,∵AB是⊙O的直径,∴∠C=∠D=90°.
又∵AC=6,AB=10,∴BC=8.
∴cos∠BAC=.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC.
∴2cos2∠BAD=1+cos∠BAC=.
∴cos∠BAD=.
又在Rt△ADB中,AD=AB·cos∠BAD=10×=4.
13.(2012·广东)不等式|x+2|-|x|≤1的解集为________.
答案 {x|x≤-}
解析 由|x+2|-|x|≤1,得|x+2|≤1+|x|,得x2+4x+4≤1+2|x|+x2,得4x+3≤2|x|.
若x≥0,则4x+3≤2x,得x≤-,此时无解;
若x<0,则4x+3≤-2x,得x≤-.
故|x+2|-|x|≤1的解集为{x|x≤-}.
14.(2012·天津理)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________.
答案 2
解析 消去参数得抛物线的普通方程,根据抛物线的定义,利用直角三角形中边的关系建立方程求解.由题意知,抛物线的普通方程为y2=2px(p>0),焦点F(,0),准线x=-,设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|=|MF|,所以△MEF是正三角形,在直角三角形EFA中,|EF|=2|FA|,即3+=2p,得p=2.
15.如图所示,AB是半径等于3的⊙O的直径,CD是⊙O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD=________.
答案 30°
解析 连接AC,DO,OC,由圆内接四边形的对角互补可得△PAC∽△PDB,
∴=.∴PD=8,CD=3.
又OC=OD=3,∴△OCD为等边三角形.
∴∠COD=60°.∴∠CBD=∠COD=30°.
16.(2012·湖北理)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ=与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为________.
答案 (,)
解析 记A(x1,y1),B(x2,y2),将θ=,转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为(,).
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2012·江苏理)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,求证:|y|<.
解析 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤
2|x+y|+|2x-y|,
由题设知|x+y|<,|2x-y|<,从而3|y|<+=,所以|y|<.
18.(本小题满分12分)如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD,BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.
(1)求证:∠P=∠EDF;
(2)求证:CE·EB=EF·EP.
证明 (1)∵DE2=EF·EC,∴DE∶CE=EF∶ED.
∵∠DEF是公共角,∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF=∠C.
∵CD∥AP,∴∠P=∠PCD,∴∠P=∠EDF.
(2)∵∠P=∠EDF,∠DEF=∠PEA,
∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE=EF∶EA,即EF·EP=DE·EA.
∵弦AD,BC相交于点E,
∴DE·EA=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.
19.(本小题满分12分)(2012·辽宁理)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解析 (1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.
解得ρ=2,θ=±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为,.
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)方法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(-≤t≤).
方法二 将x=1代入
得ρcosθ=1,从而ρ=.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
.
20.(2013·保定模拟)已知函数f(x)=|x-1|+2a(a∈R).
(1)解关于x的不等式f(x)<3.
(2)若不等式f(x)≥ax,?x∈R恒成立,求a的取值范围.
解析 (1)由f(x)<3,即|x-1|+2a<3,得|x-1|<3-2a.
当3-2a≤0时,即a≥,不等式的解集为?;
当3-2a>0时,即a<,不等式等价于2a-32时,a≤恒成立,
∵∈(1,+∞),∴a≤1.
综上,?x∈R使得不等式f(x)≥ax恒成立的a的取值范围是[0,1].
方法二 由f(x)≥ax,即|x-1|+2a≥ax,
∴|x-1|≥a(x-2).
依题意,y=|x-1|的图像恒在y=a(x-2)图像的上方,而y=a(x-2)恒过(2,0)点,依图分析得0≤a≤1.
21.
(本小题满分12分)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB、FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)求证:FB2=FA·FD;
(3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6,求AD的长.
解析 (1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC.
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB.
∴FB=FC.
(2)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,
∴△FBA∽△FDB,∴=,∴FB2=FA·FD.
(3)∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠EAC=120°,∴∠DAC=∠EAC=60°,∠BAC=60°.∴∠D=30°.
∵BC=6 cm,∴AC=2 cm,∴AD=2AC=4 cm.
22.(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解析 (1)由已知可得
A(2cos,2sin),B(2cos(+),2sin(+)),
C(2cos(+π),2sin(+π)),D(2cos(+),2sin(+)),
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)设P(2cosφ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则
S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
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