第6讲 空间向量及其运算
A级 基础演练
(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
答案 A
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝ ( )．
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
答案 D
3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案 C
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 ( )．
A．0 B.
C. D.
解析 设＝a，＝b，＝c，
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．
①＝2－－；②＝＋＋；
③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；
解析 ∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．
答案 ③
6.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.
解析 如图，设＝a，＝b，＝c，
·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.
答案 0
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断、、三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)由已知＋＋＝3 ，
∴－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
∴，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．
8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1、G、C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D；
(3)求点C到平面BC1D的距离．
(1)证明 ＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∴∥，即A1、G、C三点共线．
(2)证明 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.
(3)解 ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面BC1D的距离为a.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是 ( )．
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向
量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．
答案 B
2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 ( )．
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析 ＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________．
解析 设＝a，＝b，＝c，
由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，
〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°
||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，
则||＝2.
答案 2 cm
4．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．
解析 设＝a，＝b，＝c.
OA与BC所成的角为θ，
·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.
∴cos θ＝＝＝.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线．
证明 设＝a，＝b，＝c，则
＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B、G、N三点共线．
6．(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解 设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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