第2讲 圆与圆的方程
A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2013·济宁一中月考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为 ( ).
A.-1 B.1 C.3 D.-3
解析 化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).∵直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.
答案 B
2.(2013·上饶质检)设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若00,所以原点在圆外.
答案 B
3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为 ( ).
A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5
C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0,-2),所以所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.
答案 D
4.(2013·汉中模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为 ( ).
A.x2+y2=32 B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16
解析 设P(x,y),则由题意可得:2=,化简整理得x2+y2=16,故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________.
解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4),再由两点间的距离公式得圆的半径为=,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=2.
答案 (x-2)2+(y-4)2=2
6.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为________.
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径,即-=.
答案
三、解答题(共25分)
7.(12分)求适合下列条件的圆的方程:
(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则有
解得a=1,b=-4,r=2.
∴圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
法二 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).
∴半径r==2,
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(2)法一 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得D=-2,E=-4,F=-95.
∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
法二 由A(1,12),B(7,10),
得AB的中点坐标为(4,11),kAB=-,
则AB的垂直平分线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的垂直平分线方程为x+y-3=0.
联立得
即圆心坐标为(1,2),半径r==10.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.
8.(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解 (1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),
∴直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0. ①
又直径|CD|=4,∴|PA|=2,
∴(a+1)2+b2=40, ②
由①②解得或
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2),
∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2013·榆林调研)已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为 ( ).
A.8 B.-4 C.6 D.无法确定
解析 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则x-y+3=0过圆心,即-+3=0,∴m=6.
答案 C
2.圆心为C的圆与直线l:x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足·=0,则圆C的方程为 ( ).
A.2+(y-3)2= B.2+(y+3)2=
C.2+(y-3)2= D.2+(y+3)2=
解析 法一 ∵圆心为C,
∴设圆的方程为2+(y-3)2=r2.
设P(x1,y1),Q(x2,y2).
由圆方程与直线l的方程联立得:5x2+10x+10-4r2=0,
∴x1+x2=-2,x1x2=.
由·=0,得x1x2+y1y2=0,即:
x1x2-(x1+x2)+=+=0,
解得r2=,经检验满足判别式Δ>0.
故圆C的方程为2+(y-3)2=.
法二 ∵圆心为C,
∴设圆的方程为2+(y-3)2=r2,
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的,即2+(y-3)2=,故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为________.
解析 由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又△OPQ为直角三角形,故其圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径为=,∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
答案 (x-2)2+(y-1)2=5
4.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P是圆上的动点,则d=|PA|2+|PB|2的最大值为________,最小值为________.
解析 设点P(x0,y0),则d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2,欲求d的最值,只需求u=x+y的最值,即求圆C上的点到原点的距离平方的最值.圆C上的点到原点的距离的最大值为6,最小值为4,故d的最大值为74,最小值为34.
答案 74 34
三、解答题(共25分)
5.(12分)(2013·大连模拟)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
解 (1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
根据题意得:
解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,
所以四边形PAMB面积的最小值为
S=2=2=2.
6.(13分)(2013·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
解 (1)设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,且·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2,
令x=cos θ,y=sin θ,
∴·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
所以·的最小值为-4.
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