第4讲 椭 圆
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝ ( )．
A. B. C. D．4
解析 a2＝4，b2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，不妨设F1为左焦点，P在x轴上方，则F1(－，0)，设P(－，m)(m>0)，则＋m2＝1，解得m＝，所以|PF1|＝，根据椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2×2－＝.
答案 A
2．(2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )．
A. B. C. D.－2
解析 因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以离心率e＝＝，故选B.
答案 B
3．(2013·榆林模拟)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是 ( )．
A. B.
C.∪ D.∪
解析 椭圆标准方程为x2＋＝1.当m>1时，e2＝1－∈，解得m>；当0b>0)的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点.·＝0且·＝2，则该椭圆的离心率是 ( )．
A. B.
C．3－ D．3＋
解析 因为·＝0，且·＝·(－)，所以·＝2，所以||＝||＝c，所以||＝c，且∠AOF＝45°，设椭圆的右焦点是F′，在△AOF′中，由余弦定理可得AF′＝ c，由椭圆定义可得AF＋AF′＝ c＋ c＝2a，即(1＋)c＝2a，故离心率e＝＝＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·青岛模拟)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．
解析 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝＝，∴m＝4，代入①得，n2＝12，∴椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
6．(2013·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，则椭圆C：＋＝1的离心率为________．
解析 由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，·＝0，若椭圆的离心率等于.
(1)求直线AO的方程(O为坐标原点)；
(2)直线AO交椭圆于点B，若三角形ABF2的面积等于4，求椭圆的方程．
解 (1)由·＝0，知AF2⊥F1F2，
∵椭圆的离心率等于，∴c＝a，可得b2＝a2.
设椭圆方程为x2＋2y2＝a2.
设A(x0，y0)，由·＝0，知x0＝c，
∴A(c，y0)，代入椭圆方程可得y0＝a，
∴A，故直线AO的斜率k＝，
直线AO的方程为y＝x.
(2)连接AF1，BF1，AF2，BF2，
由椭圆的对称性可知，S△ABF2＝S△ABF1＝S△AF1F2，
∴·2c·a＝4.
又由c＝a，解得a2＝16，b2＝16－8＝8.
故椭圆方程为＋＝1.
8．(13分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解 (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l的倾斜角为60°，知y1<0，y2>0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
由消去x，
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2·，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故椭圆C的方程为＋＝1.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1. (2013·厦门质检)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆2＋y2＝相切于点Q，且＝2Q，则椭圆C的离心率等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 记椭圆的左焦点为F′，圆2＋y2＝的圆心为E，连接PF′，QE.
∵|EF|＝|OF|－|OE|＝c－＝，＝2Q，
∴＝＝，∴PF′∥QE，
∴＝，且PF′⊥PF.
又∵|QE|＝(圆的半径长)，∴|PF′|＝b.
据椭圆的定义知：|PF′|＋|PF|＝2a，∴|PF|＝2a－b.
∵PF′⊥PF，∴|PF′|2＋|PF|2＝|F′F|2，
∴b2＋(2a－b)2＝(2c)2，∴2(a2－c2)＋b2＝2ab，
∴3b2＝2ab，∴b＝，c＝＝a，＝，
∴椭圆的离心率为.
答案 A
2．(2012·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·泰安一模)F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB＝30°，则该双曲线的离心率为________．
解析 如图，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝c2，双曲线的渐近线为y＝x.
由得M(a，b)，
∴△MAB为直角三角形．
∴在Rt△MAB中，tan 30°＝＝＝.
∴＝.∴e＝ ＝ ＝.
答案
4.如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
解析 设标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T.求证：点T在椭圆C上．
(1)解 由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以a＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，
则直线PM的方程为y＝x＋1， ①
直线QN的方程为y＝x＋2. ②
法一 联立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝＝1，
所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
法二 设T(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
6．(13分)(2012·重庆) 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2为直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，
因此y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
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