第5讲 抛物线
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )．
A. B．1 C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3，∵p＝，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点的横坐标为＝.
答案 C
2．(2013·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ( )．
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
解析 设P(x0，y0)，则
∴36＝2p，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.
答案 C
3．(2011·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ ( )．
A. B. C．－ D．－
解析 由得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.
答案 D
4．(2012·山东)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
( )．
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析 ∵－＝1的离心率为2，∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意，得＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．
解析 依题意，有F，直线l为y＝x－，所以A，△OAF的面积为××＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.
答案 16
6．(2012·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．
答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝，
可得＝，解得t＝±1.
因为－1?，1∈，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
8．(13分)(2012·温州十校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．
(1)求a与b；
(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．
解 (1)由e＝＝ ＝，得＝.
又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝，则a＝.
(2)法一 由c＝＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．
设M(x，y)，则P(1，y)．
由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．
法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝ ( )．
A．9 B．6 C．4 D．3
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由＋＋＝0，可得x1＋x2＋x3＝3，又由抛物线的定义可得||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝6.
答案 B
2．(2013·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 ( )．
A. B. C．2 D.－1
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析 直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
答案
4．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
解析 设过抛物线焦点的直线为y＝k，联立得，整理得，k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，x1＋x2＝，x1x2＝.|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝，x2＝，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋＝.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.
(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．
思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．
(1)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．
∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，
∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，
∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，
∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，
∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)
＝λ＝λ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，
得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，
∵y1y2>0，∴y1y2＝4，
则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)
＝2＋4－12
＝2－16，
λ∈，λ＋∈，
当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.
探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
6．(13分)(2012·新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ p.
因为△ABD的面积为4 ，所以|BD|·d＝4 ，
即·2p· p＝4 ，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|.
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，
解得b＝－.
因为m的纵截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
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