第3讲 导数的综合应用
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时 ( )．
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0 B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
解析 由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0.
答案 B
2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ( )．
A．12 cm3 B．72 cm3 C．144 cm3 D．160 cm3
解析 设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x∈(0，5)．
则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160 x，
∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144 (cm3)．
答案 C
3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是 ( )．
A．(－∞，7] B．(－∞，－20]
C．(－∞，0] D．[－12，7]
解析 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.
答案 B
4．(2012·新余模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为 ( )．
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．
答案 (－2，2)
6．(2013·泰州调研)若函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则实数a的取值范围为________．
解析 ∵f′(x)＝1＋acos x，∴要使函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则1＋acos x≥0对任意实数x都成立．
∵－1≤cos x≤1，
①当a>0时，－a≤acos x≤a，∴－a≥－1，∴00，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值；
(3)若f(x)0或f′(x)<0→确定单调性．
(2)根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解．
(3)f(x)xln x－x3→求xln x－x3的最大值．
解 (1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由(1)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，
∴a＝－(舍去)．
②若a≤－e，则x＋a≤0，
即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，
∴a＝－(舍去)．
③若－e0，
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，
∴a＝－.
综上所述，a＝－.
(3)∵f(x)0，∴a>xln x－x3.
令g(x)＝xln x－x3，
h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴h(x)
f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，＋＝.若数列的前n项和大于62，则n的最小值为 ( )．
A．8 B．7 C．6 D．9
解析 构造函数h(x)＝＝ax，由已知条件可知h′(x)＝>0，则h(x)在R上为增函数，得a>1，又a＋a－1＝，解得a＝2或a＝(舍去)．
所以＝2n，其前n项和Sn＝2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2，由2n＋1－2>62，解得2n＋1>26，∴n>5，故n的最小值为6，选C.
答案 C
2．(2013·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1，0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1，0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1，0)上恒成立，
∴∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝，∴a2＋b2≥d2＝，∴a2＋b2的取值范围为.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2013·上饶模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析 (构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x＞0，即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4.
当x＜0，即x∈[－1，0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1，0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上可知a＝4.
答案 4
4．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析 如图所示，设AD＝x m(0＜x＜1)，则DE＝AD＝x m，
∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x (m)，又S△ADE＝x2(m2)，
∴梯形的面积为－x2(m2)，
∴s＝×(0＜x＜1)，
∴s′＝×，令s′＝0，得x＝或3(舍去)，当x∈时，s′＜0，s递减；当x∈时，s′＞0，s递增．故当x＝时，s的最小值是.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2013·温州五校联考)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，
即解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
∵曲线方程为y＝x3－3x，
∴点A(1，m)(m≠－2)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.
∵f′(x0)＝3(x－1)，
∴切线的斜率为3(x－1)＝，
整理得2x－3x＋m＋3＝0.
∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，
∴关于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三个实根．
设g(x0)＝2x－3x＋m＋3，则g′(x0)＝6x－6x0，
由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.
∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．
∴函数g(x0)＝2x－3x＋m＋3的极值点为x0＝0和1.
∴关于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三个实根的充要条件是解得－31.
(1)求证函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；
(3)若对于任意的x1，x2∈[－1，1]时，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范围．
(1)证明 ∵F(x)＝f(x)－g(x)＝ax＋x2－xln a，
∴F′(x)＝ax·ln a＋2x－ln a＝(ax－1)ln a＋2x.
∵a>1，x>0，∴ax－1>0，ln a>0，2x>0，
∴当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，即函数F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)解 由(1)知当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
∴F(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
∴F(x)取得最小值为F(0)＝1.
由－3＝0，
得F(x)＝b－＋3或F(x)＝b－－3，
∴要使函数y＝－3有四个零点，只需
即b－>4，即>0，
解得b>2＋或2－0)，
则H′(x)＝1＋－＝＝>0，
∴H(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0.∴F(1)>F(－1)．
∴|F(x2)－F(x1)|的最大值为|F(1)－F(0)|＝a－ln a，
∴要使|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，
只需a－ln a≤e2－2即可．
令h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－>0，
∴h(a)在(1，＋∞)上单调递增．
∵h(e2)＝e2－2，∴只需h(a)≤h(e2)，即1
【点此下载】