第4讲 定积分的概念与微积分基本定理
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
1．(2013·大连模拟)已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx等于 ( )．
A．0 B．4 C．8 D．16
解析 因为f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以
－6f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16.
答案 D
2．(2013·唐山模拟)已知f(x)＝2－|x|，则－1f(x)dx等于 ( )．
A．3 B．4 C. D.
解析 f(x)＝2－|x|＝
∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
答案 C
3．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( )．
A. B.
C．2 D.
解析 由导函数f′(x)的图象可知函数f(x)为二次函数，且对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因过点(－1,0)与(0,2)，则有∴∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝.
答案 B
4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 ( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知t>0，若(2x－1)dx＝6，则t＝________.
解析 (2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6，
解得t＝3(t＝－2舍去)．
答案 3
6．(2012·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
解析 S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值．
解 ∵f(x)是一次函数，∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b.
∴a＋b＝5.①
又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx
＝＝a＋b.
∴a＋b＝.②
解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3，
∴dx＝dx＝dx
＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2.
8．(13分)如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx＝
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为 ( )．
A. B. C. D.
解析 在直角坐标系内，画出曲线和直线围成的封闭图形，如图所示，由x2＋2x＝x，解得两个交点坐标为(－1，－1)和(0,0)，封闭图形的面积为S＝
－1[x－(x2＋2x)]dx＝＝－－＝.
答案 A
2．(2013·郑州质检)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．则k＝________.
解析 f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1.
答案 0或－1
4．设f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，则12展开式中各项的系数和为________．
解析 因为f(x)＝xn＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展开式中各项的系数和为12＝1.
答案 1
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得即
∴f(x)＝ax2＋2－a.
又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx
＝＝2－a＝－2，
∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.
6．(13分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
解 面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，
即S1＝t·t2－x2dx＝t3.
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，
即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.
t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.
所以当t＝时，S最小，且最小值为.
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