第4讲 古典概率模型
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由题意知，基本事件有＝12个，满足条件的基本事件就一个，故所求概率为P＝.
答案 A
2．(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 基本事件有C＝10个，其中为同色球的有C＋C＝4个，故所求概率为＝.
答案 C
3．(2013·福州一模)甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P＝＝.
答案 A
4．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为
( )．
A．12 B．18 C．24 D．32
解析 设女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以＝，得x＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·南京模拟)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
解析 由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为＝.
答案
6．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是________．
解析 ∵m，n均为不大于6的正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈的点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，点A(m，n)的基本事件总数为6×6＝36，故所求概率为＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)(2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解 (1)由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校数目为6×＝3；从中学中抽取的学校数目为6×＝2；从大学中抽取的学校数目为6×＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
8．(13分)(2011·广东)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72
(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分，
∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，
这6位同学成绩的方差
s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩共有C＝10种，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为＝0.4，
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三种数字，每人则可喊0,5,10,15,20五种数字，当两人所出数字之和等于甲所喊数字时为甲胜，当两人所出数字之和等于乙所喊数字时为乙胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ( )．
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定
解析 两人共有9种出数的方法，其中和为10的方法有3种，和为15的方法有2种，故甲胜的概率要大，应选A.
答案 A
2．(2013·合肥二模)将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的事件发生的概率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．
解析 e＝ >，∴b>2a，符合b>2a的情况有：当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．则所求概率为＝.
答案
4．(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
解析 根据条件求出基本事件的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．因为每人都从三个项目中选择两个，有(C)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本事件有CCC个，故所求概率为＝.
答案
三、解答题(共25分)
5．(12分)(2012·枣庄二模)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．
(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；
(2)如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
解 (1)若编号为n的球的重量大于其编号．
则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.
解得n<3或n>4.
∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝＝.
(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形共有C＝15种．
设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.
∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.
满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．
由古典概型，所求事件的概率为.
6．(13分)某省实验中学共有特级教师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级教师担任青年教师培训班的指导教师，由于工作需要，其中男教师甲和女教师乙不能同时被抽调．
(1)求抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师的概率；
(2)若抽到的女教师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．
解 由于男教师甲和女教师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种情况：
①若甲和乙都不被抽调，有C种方法；
②若甲和乙中只有一人被抽调，有CC种方法，故从10名教师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C＋CC＝70＋112＝182.这就是基本事件总数．
(1)记事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且恰有2名男教师，2名女教师”为A，因为含有女教师丙，所以再从女教师中抽取一人，若抽到的是女教师乙，则男教师甲不能被抽取，抽调方法数是C；若女教师中抽到的不是乙，则女教师的抽取方法有C种，男教师的抽取方法有C种，抽调的方法数是CC.故随机事件“抽调的4名教师中含有女教师丙，且4名教师中恰有2名男教师、2名女教师”含有的基本事件的个数是C＋CC＝40.
根据古典概型概率的计算公式得P(A)＝＝.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女教师乙，这时取法为CC种，也可以不含女教师乙，这时有CC种，故P(ξ＝3)＝＝＝；
若ξ＝4，则选出的4名教师全是女教师，必含有乙，有C种方法，故P(ξ＝4)＝＝，于是P(ξ≤2)＝1－－＝＝.
特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
【点此下载】