第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·临川质检)α∈，sin α＝－，则cos(－α)的值为 ( )．
A．－ B. C. D．－
解析 因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，即cos(－α)＝，故选B.
答案 B
2．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ ( )．
A．－ B. C．－ D.
解析 由于tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝＝＝.
答案 D
3．(2013·汉中质检)若＝，则tan 2α＝ ( )．
A．－ B. C．－ D.
解析 由＝，得＝，所以tan α＝－3，所以tan 2α＝＝.
答案 B
4．(2011·福建)若tan α＝3，则的值等于 ( )．
A．2 B．3 C．4 D．6
解析 ＝＝＝2tan α，又tan α＝3，故＝6.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·商洛模拟)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是________．
解析 1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2＝，
又∵＜α＜，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－.
答案 －
6．(2013·郑州模拟)若sin(π－α)＝log8，且α∈，则cos(2π－α)的值是________．
解析 ∵sin(π－α)＝log8，∴sin α＝log232－2＝－.
∴cos(2π－α)＝cos α＝＝.
答案
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝，α是第三象限角．
∴sin α＝－.
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.
8．(13分)已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.
解 法一 由sin(3π＋α)＝2sin，得tan α＝2.
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α＝
＝＝.
法二 由已知得sin α＝2cos α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则
＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 由5x2－7x－6＝0得x＝－或x＝2.∴sin α＝－.∴原式＝＝＝.
答案 B
2．(2012·上海)若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是 ( )．
A．16 B．72 C．86 D．100
解析 由sin ＝－sin ，sin ＝－sin ，…，sin ＝－sin ，sin ＝sin ＝0，所以S13＝S14＝0.
同理S27＝S28＝S41＝S42＝S55＝S56＝S69＝S70＝S83＝S84＝S97＝S98＝0，共14个，所以在S1，S2，…，S100中，其余各项均大于0，个数是100－14＝86(个)．故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．(2011·重庆)已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
解析 依题意得sin α－cos α＝，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋2＝2，故(sin α＋cos α)2＝；又α∈，因此有sin α＋cos α＝，所以＝＝－(sin α＋cos α)＝－.
答案 －
4．(2013·青岛模拟)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β均为非零实数)，若f(2 012)＝6，则f(2 013)＝________.
解析 f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4＝6，∴asin α＋bcos β＝2，∴f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4＝2.
答案 2
三、解答题(共25分)
5．(12分)是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解 假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin α＝±.∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
6．(13分)(2011·天津)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos 2α，求α的大小．
解 (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.所以f(x)的定义域为，f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，
＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝，即sin 2α＝.
由α∈，得2α∈.所以2α＝，即α＝.
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