小题专项集训(十四) 直线与圆
(时间:40分钟 满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共50分)
1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为 ( ).
A.1 B. C. D.2
解析 直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0间的距离d==,故应选B.
答案 B
2.已知圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,则D与E的关系是
( ).
A.D+E=2 B.D+E=1
C.D+E=-1 D.D+E=-2
解析 ∵圆x2+y2+Dx+Ey=0的圆心在直线x+y=1上,∴--=1,即D+E=-2,故应选D.
答案 D
3.(2013·济南二模)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k= ( ).
A.-3或-1 B.3或1
C.-3或1 D.-1或3
解析 l1⊥l2?k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0?(1-k)(k+3)=0?k=1或k=-3.
答案 C
4.圆x2+y2-ax+2=0与直线l相切于点A(3,1),则直线l的方程为 ( ).
A.2x-y-5=0 B.x-2y-1=0
C.x-y-2=0 D.x+y-4=0
解析 由已知条件可得32+12-3a+2=0,解得a=4,此时圆x2+y2-4x+2=0的圆心为C(2,0),半径为,则直线l的方程为y-1=-(x-3)=-x+3,即得x+y-4=0,故应选D.
答案 D
5.(2013·乌鲁木齐三模)在圆x2+y2+2x-4y=0内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是 ( ).
A. B. C. D.
解析 易知圆的圆心为(-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为-1,且最长弦与最短弦垂直,∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1,倾斜角是.
答案 B
6.(2013·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C:(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为 ( ).
A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0
解析 易知圆的圆心为C(3,0);据圆的垂径定理知MN⊥PC.∵kPC=-,∴kMN=2.∴直线MN方程为:y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案 D
7.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 ( ).
A.30 B.18 C.6 D.5
解析 由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为3.则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为:+3=5+3,最小距离为:5-3,故最大距离与最小距离的差为6.
答案 C
8.(2013·宁德模拟)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值是 ( ).
A.4 B.2 C. D.
解析 圆(x+1)2+(y-2)2=4,由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心,即2a·(-1)-b·2+2=0,即a+b=1,故+=(a+b)·=2++≥4,当且仅当a=b=时等号成立.
答案 A
9.(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为 ( ).
A.(x-2)2+2=9 B.(x-3)2+(y-1)2=2
C.(x-1)2+(y-3)2=2 D.(x-)2+(y-)2=9
解析 设所求圆的圆心坐标是(a>0),则点(a>0)到直线3x+4y+3=0的距离d==≥=3,当且仅当3a=,即a=2时取等号,因此所求圆的圆心坐标是,半径是3,所求圆的方程为(x-2)2+2=9,选A.
答案 A
10.点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2外角平分线的垂线.垂足为M,则点M的轨迹是 ( ).
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析 如图,延长F2M交F1P延长线于N.∵|PF2|=|PN|,∴|F1N|=2a.连结OM,则在△NF1F2中,OM为中位线,则|OM|=|F1N|=a.∴M的轨迹是圆.
答案 A
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.(2013·常州模拟)过点P(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________.
解析 分两种情况:(1)直线l过原点时,l的斜率为-,∴直线方程为y=-x;(2)l不过原点时,设方程为+=1,将x=-2,y=3代入得a=1,∴直线方程为x+y=1.综上:l的方程为x+y-1=0或3x+2y=0.
答案 x+y-1=0或3x+2y=0
12.(2013·长春一模)已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是________.
解析 ∵l1∥l2,∴可设直线l1:3x+4y+b=0.
∵l1与圆x2+(y+1)2=1相切,∴=1,
∴b=9或b=-1,
∴l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.
答案 3x+4y-1=0或3x+4y+9=0
13.过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段没有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是________.
解析 易知PA的斜率kPA==-1,PB的斜率kPB==1,又直线l与线段AB没有公共点.
∴直线l的斜率k的取值范围为k<-1或k>1,
结合正切函数图象得倾斜角的范围是.
答案
14.过点M的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为________.
解析 由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,从而直线方程y-1=-,即2x-4y+3=0.
答案 2x-4y+3=0
15.(2013·苏州一模)过直线l:y=2x上一点P作圆C:(x-8)2+(y-1)2=2的切线l1,l2,若l1,l2关于直线l对称,则点P到圆心C的距离为________.
解析 如图,据题意,
∠1=∠2,∠3=∠4;
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°,
∴∠2+∠3=90°,
∴CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d==3.
答案 3
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