易失分点清零(五) 三角函数与解三角形
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是 ( )．
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 因为cos2＝及2cos2－1＝cos A，所以cos A＝，则△ABC是直角三角形．故选A.
答案 A
2．函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的.所得函数解析式为 ( )．
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 将原函数向右平移个单位长度，所得函数解析式为y＝sin＝sin，再压缩横坐标得y＝sin.故选D.
答案 D
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b－c)cos A＝acos C，则cos A的值等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 (b－c)cos A＝acos C，由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，又sin B≠0，所以cos A＝，故选B.
答案 B
4．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则 ( )．
A．f(x)在单调递减
B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增
D．f(x)在单调递增
解析 先将f(x)化为单一函数形式：
f(x)＝sin，
∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin.
由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，
因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos 2x.
由0<2x<π，得0b可得A>B，即得B为锐角，则cos B＝＝.
答案 A
6.已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则 ( )．
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析 ∵T＝π，∴ω＝2.由五点作图法知2×＋φ＝，∴φ＝－.
答案 D
7．(2013·龙岩模拟)将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ( )．
A．sin x B．cos x C．2sin x D．2cos x
解析 运用逆变换方法：作y＝1－2sin2x＝cos 2x的图象关于x轴的对称图象得y＝－cos 2x＝－sin 2的图象，再向左平移个单位得y＝f(x)·sin x＝－sin 2＝sin 2x＝2sin xcos x的图象．∴f(x)＝2cos x.
答案 D
8．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝ ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝，cos αcos β＋sin αsin β＝，则有cos αcos β＝，sin αsin β＝，所以＝，即tan αtan β＝.
答案 A
9．(2013·湖州模拟)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
解析 由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A．又A＋C＝120°
∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)
＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角．
由于0°1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则tan 的值是________．
解析 因为a>1，tan α＋tan β＝－4a<0，
tan α·tan β＝3a＋1>0，所以tan α<0，tan β<0.
又由α，β∈，得α，β∈，
所以α＋β∈(－π，0)，则∈.
又tan(α＋β)＝＝＝，
又tan(α＋β)＝＝，
整理，得2tan2＋3tan－2＝0，
解得tan ＝－2或tan ＝(舍去)．
答案 －2
11．函数y＝sin的单调递减区间是________．
解析 即求y＝sin的单调递增区间，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
12．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
解析 由条件，得g(x)＝2sin＝2sin ωx，从而＝≥，解之得ω≤2，所以ω的最大值为2.
答案 2
13．在△ABC中，＝.
(1)证明：B＝C；
(2)若cos A＝－，求sin的值．
(1)证明 在△ABC中，由正弦定理及已知，
得＝.
于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0.
因为－π0，且x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．
解 (1)因为f(x)＝1＋cos x＋sin x＋b＝sin＋b＋1，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝a(sin x＋cos x)＋a＋b
＝asin＋a＋b，
因为x∈[0，π]，则x＋∈，
所以sin∈.
故所以
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